366 КВаДРАТИЧЙЫЙ критерий качества 1ГЛ. vii

R {t) совпадает с единичной матрицей Е. Это несколько сократит наши выкладки, не нарушая общности рассуждений. Рассмотрение случая произвольной положительно определенной матрицы R {t) мы оставляем читателю (см. также задачу 7). Поскольку L (t) предполагается неотрицательно определенном, то, вообще говоря, не является верным утверждение о том, что существует минимум Оказывается, что определение условий существования минимума / и вычисление оптимального управления связано с решением матричного дифференциального уравнения 1-го порядка, называемого уравнением Риккати:

К {t) - -Ait) K{t) - К {t) А it) +

+ K{t)B {t)B {t)K{t) - L (t). (УР)

Поскольку это уравнение - нелинейное, то не ясно, будет ли при заданном начальном условии К (fo) = К(, существовать его решение. Более того, если даже решение существует для некоторого интервала времени, то оно может перестать существовать для большего временного интервала. Чтобы проиллюстрировать типичные трудности, возникающие при решении уравнения Риккати, рассмот рим простой пример скалярного уравнения 1-го норядкя

к (t) = (t) -М, к (0) = 0. Это, очевидно, уравнение Риккати. Разделяя переменные и интегрируя, получим к (t) = tg t. Решение стремится к бесконечности при t я/2, и поэтому оно существует на интервале О i 1 и не существует на интервале О 2. При рассмотрении двух теорем этого параграфа предполагается, что можно решить соответствующее уравнение Риккати и что решение не обращается в бесконечность на рассматриваемых интервалах. Через К (t, К, tl) обозначим такое решение уравнения Риккати (УР) в момент времени t, которое в момент t- удовлетворяет начальному условию К (ii) = Ki.

Еще несколько предварительных замечаний об уравнении Риккати. В нашем изложении оно вводится несколько искусственно. Рассуждения строятся таким образом. Если имеется решение уравнения Риккати (УР), то можно сделать некоторые выводы о существовании и о виде решения интересующей нас онти1\1альной задачи.

\[u{t), x{t)]

~x{t)K{t)x{t) ll = 0.

Доказательство. Если x (t) - любая дифференцируемая траектория системы, а К (t) - любая диф-ферендируемая матрица, то имеет место очевидное тождество

~ [х (t) К (t) X (t)] dt = х (t) К (О X (t)

или, более подробно,

5 fx {t)K (t) x{t) + x (t) К (t) X (t) + x (0 К (t) X {t)] dt - и

-x{f)K{t)x{t)\\l = Q.

Если в этом выражении подставить вместо х (t) и х (t) правую часть уравнений движения A{t) x{t) -\-B{t) и (t) и x{t)A{t)u{t)B{t) соответственно, то получим утверждение леммы. О

Решение задачи со свободным конечным состоянием системы сформулируем в виде следующей теоремы.

Читателя не должно смущать отсутствие мотивировки введения этого уравнения. Она будет дана в дальнейшем вместе с результатами исследования некоторых свойств решений этого уравнения.

Задача о регуляторе нулевого состояния. Физическое содержание этой задачи заключается в том, что система с оптимальной обратной связью должна возвращаться в нуль из любого состояния, причем критерий качества вдоль любого такого двинчения системы должен достигать минимума. Решение этой задачи основано на следующем простом равенстве.

Лемма 1. Пусть А, В и К ~ К заданы. Предположим, что К (t) существует на интервале t tx-Тогда для х () и и (f), удовлетворяющих уравнению

X [t) = А {t) х. [t) -г В [t) U [t), выполнено равенство t

о 1 B{,t) к (t)

Теорема 1. Пусть заданы матрацы. Л {t), В (f), L (£) - L {t) и Q Q. Предположим, что на интервале to t h суу/естеует решение К (f) дифференциального уравнения (УР) с начальным условием К {t) = Q. Тогда существует управление и ((), которое дает минимум критерию качества

/ - (х {t) L (О X (О + и (t) U (t)} dt + х (tl) Qx (fl)

для системы x (t) = A {t)x {t) -\- В {t) и (t), x [t ) x. Минимальное значение J равно x (to) К {to. Q, ti)x {to)-Минимизирующее управление в виде обратной связи имеет

a{t) = -.B{t)K{t, ti)x {t). Минимизирующее управление no разомкнутому контуру и {t) = ~В {t)K {t, Q, tJ)Ф {t, to)Xo,

где Ф {t, to) - перегодная матрица для уравнения X {t) = [А {t) - В {t)B {t)K {t, Olx {t).

Доказательство. Преобразуем аиражение ддп критерия /, прибавив к / тождество предыдущей леммы;

J = \[u{t), x{t)] и

+ 5 [VL{t), X{t)]

0 B{t]K{t)

lK[t)B n к [t] + A {t) K(t)-K (0 A (t) J dt -x{t)K{t)x{t)

u{t) L X {t}j

Здесь К {t) = К {t, Q, tj). Объединяя два интеграла в правой части этого равенства и воспользовавшись дифференциальным уравнением для К {t), из которого следует, что

к (О + А {t)K it) 4- К {t) A{t) L {t) -

= К {t)B {t)B {t)K it).