Главная
>
Управление конечномерными объектами получим равенство / = $ [u{t), x{t)]
E B{i}K{t) К {t) В {t)lK{t) В {t) B it) I -i-x{to)K{to)x{to) = l\\u{t)-i-B{t)K (0 X (0 IP dt -b x (fo) К (to) X (t,). Мы воспользовались начальным условием для уравнения Риккати, согласно которому К {tj) К {t, Q, t) = Q. То обстоятельство, что подынтегральное выражение представлено в виде квадрата нормы некоторого вектора, легко проверяется, если выполнить матричное умножение. Полученное выражение для / делает выбор оптимального управления очевидным. Действительно, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, минштум / равен х {tQ)K (0, Q, ii)x(fo), и достигается этот минимум в том и только в том случае, когда интеграл равен нулю. Поэтому оптимальное управление дается формулой п [t) = -В [t] К {t, Q, tl) X (£), т. е. в виде обратной связи. Подставляя его в уравпение движения, получим уравнение для оптимальной траектории x{t) - [А (О - Bit)Вit) К и, Q, ti)]xit). Если Ф it, iff) - переходная матрица этого уравнения, то оптимальное управление по разомкнутому контуру дается равенством U it) - -В it)K (г, tl) ФЦ, to)x (to). О Полученный результат дает решение задачи синтеза оптимальной системы с обратной связью. Структурная схема системы представлена на рис. 33.1. Решенная задача получила название задачи о регуляторе нулевого состояния [24]. Эта задача рассматривалась в § 27 с учетом лишь требования устойчивости замкнутой системы. Пользуясь теоремой 1, можно выбрать коэффициенты в цени обратной связи так, чтобы обеспечить минимум квадратичному критерию качества. Заметим, что если выбор коэффициентов в цени обратной связи на основании модальных соображений, наиример, по заданным полюсам передаточной функции зам- . кнутой системы, не является однозначным, то наличие квадратичного критерия оптимальности однозначно определяет все коэффициенты в цени обратной связи. Имеется много интересных вопросов, связанных с сочетанием модального и оптимального подходов при конструировании Рис. 33.1. регуляторов. Например, можно решать задачу о выборе среди множества обратных связей, равноценных с модальной точки зрения, такой, которая обеспечивает минимум некоторому критерию качества. Возможны н другие сочетания этих подходов. Некоторые подробности имеются в книгах [47, 67, 80]. Пример 1. Пусть а; (0) - i. Найти х {t) на интервале О < так, чтобы критерий / = (j2 {t) -f (0} dt достигал минимума. Рассмотрим эту задачу как задачу оптимального управления. Пусть уравнение движения - X {t) - и {t). Тогда уравнение Риккати для этой задачи имеет вид к (О - к {t) - 1. Решение, которое проходит через нуль при t - Т, имеет, очевидно, вид к (t) - th (7* - t). Поэтому оптимальная траектория удовлетворяет уравнению X {t) = -th {Т - t)x (t). J 5 u{t)dt-\-x{T). Уравнение Риккати к (t) = к (t), к (Т) = i имеет решение уравнение для оптимальной траектории x{t) = k{t)x{t) = jTl, , (0) = 1. Его решение дается формулой х (t) =1- . Оптималь-ное управление, выраженное в виде обратной связи, есть u{t) = ~B{t)K{t, Q, h)x{t) fl a оптимальное управление по разомкнутому контуру, очевидно, совпадает с приведенным, так как х = 1. Оптимальное движение системы в примерах 1, 2 иллю-стриуется рис. 33.2. Замечание. Таким образом, согласно теореме 1 для того, чтобы выбрать коэффициенты в цепи обратной связи, необходимо вычислить матрицу К [t), решив уравнение (УР). Матрица К (t) зависит только от матриц Л (t), В [t), L [t) и не зависит от начального состояния системы. Поэтому оптимальная система с обратной связью может быть спроектирована при наличии только информации о структуре системы (матрицы А [t), В {t)) и о критерии Интегрируя ЭТО уравнение, получим z{t) = cht- (-) sb, u{t) = ~bh{T -t)x{t). В соответствии с результатом теоремы минимум / равеи х {0)К (О, О, Т)х (0) = х} (0) th Т. Пример 2. Рассмотрим задачу предыдущего примера t = и для другого критерия качества:
|