Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

получим равенство

/ = $ [u{t), x{t)]

uity

E B{i}K{t)

К {t) В {t)lK{t) В {t) B it) I -i-x{to)K{to)x{to)

= l\\u{t)-i-B{t)K (0 X (0 IP dt -b x (fo) К (to) X (t,).

Мы воспользовались начальным условием для уравнения Риккати, согласно которому К {tj) К {t, Q, t) = Q. То обстоятельство, что подынтегральное выражение представлено в виде квадрата нормы некоторого вектора, легко проверяется, если выполнить матричное умножение. Полученное выражение для / делает выбор оптимального управления очевидным. Действительно, поскольку подынтегральная функция неотрицательна, минштум / равен х {tQ)K (0, Q, ii)x(fo), и достигается этот минимум в том и только в том случае, когда интеграл равен нулю. Поэтому оптимальное управление дается формулой

п [t) = -В [t] К {t, Q, tl) X (£),

т. е. в виде обратной связи. Подставляя его в уравпение движения, получим уравнение для оптимальной траектории

x{t) - [А (О - Bit)Вit) К и, Q, ti)]xit).

Если Ф it, iff) - переходная матрица этого уравнения, то оптимальное управление по разомкнутому контуру дается равенством

U it) - -В it)K (г, tl) ФЦ, to)x (to). О

Полученный результат дает решение задачи синтеза оптимальной системы с обратной связью. Структурная схема системы представлена на рис. 33.1.

Решенная задача получила название задачи о регуляторе нулевого состояния [24]. Эта задача рассматривалась в § 27 с учетом лишь требования устойчивости замкнутой системы. Пользуясь теоремой 1, можно выбрать коэффициенты в цени обратной связи так, чтобы обеспечить минимум квадратичному критерию качества.



Заметим, что если выбор коэффициентов в цени обратной связи на основании модальных соображений, наиример, по заданным полюсам передаточной функции зам- . кнутой системы, не является однозначным, то наличие квадратичного критерия оптимальности однозначно определяет все коэффициенты в цени обратной связи. Имеется много интересных вопросов, связанных с сочетанием модального и оптимального подходов при конструировании

Рис. 33.1.

регуляторов. Например, можно решать задачу о выборе среди множества обратных связей, равноценных с модальной точки зрения, такой, которая обеспечивает минимум некоторому критерию качества. Возможны н другие сочетания этих подходов. Некоторые подробности имеются в книгах [47, 67, 80].

Пример 1. Пусть а; (0) - i. Найти х {t) на интервале О < так, чтобы критерий

/ = (j2 {t) -f (0} dt

достигал минимума. Рассмотрим эту задачу как задачу оптимального управления. Пусть уравнение движения - X {t) - и {t). Тогда уравнение Риккати для этой задачи имеет вид

к (О - к {t) - 1.

Решение, которое проходит через нуль при t - Т, имеет, очевидно, вид к (t) - th (7* - t). Поэтому оптимальная траектория удовлетворяет уравнению

X {t) = -th {Т - t)x (t).



J 5 u{t)dt-\-x{T).

Уравнение Риккати к (t) = к (t), к (Т) = i имеет решение

уравнение для оптимальной траектории

x{t) = k{t)x{t) = jTl, , (0) = 1.

Его решение дается формулой х (t) =1- . Оптималь-ное управление, выраженное в виде обратной связи, есть u{t) = ~B{t)K{t, Q, h)x{t)

fl

a оптимальное управление по разомкнутому контуру, очевидно, совпадает с приведенным, так как х = 1. Оптимальное движение системы в примерах 1, 2 иллю-стриуется рис. 33.2.

Замечание. Таким образом, согласно теореме 1 для того, чтобы выбрать коэффициенты в цепи обратной связи, необходимо вычислить матрицу К [t), решив уравнение (УР). Матрица К (t) зависит только от матриц Л (t), В [t), L [t) и не зависит от начального состояния системы. Поэтому оптимальная система с обратной связью может быть спроектирована при наличии только информации о структуре системы (матрицы А [t), В {t)) и о критерии

Интегрируя ЭТО уравнение, получим

z{t) = cht- (-) sb,

u{t) = ~bh{T -t)x{t).

В соответствии с результатом теоремы минимум / равеи

х {0)К (О, О, Т)х (0) = х} (0) th Т.

Пример 2. Рассмотрим задачу предыдущего примера t = и для другого критерия качества:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 [ 121 ] 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139