качества (матрицы Q, L {t)). При этом над состоянием X {t) производится линейное преобразование с помощью матрицы B{t)K{t, Q, tl). Оптимальная система с обратной связью является, таким образом, липейной системой с переменными параметрами. Поскольку уравнение (УР)

Рис. 33.2.

нелинейно, то найти его решение в замкнутой форме, как правило, невозможно, и вычисление К (t) приходится осуществлять с помощью ЦВМ.

Явный внд решения уравнения Риккати. В специальном частном случае, когда L = О в определении критерия качества, решение уравнения Риккати выражается в явном виде через матрицу W {t. ti), которую мы назвали грамианом управляемости (см. § 19). Итак, пусть L = 0. Тогда уравнение Риккати имеет вид

K{t) = -А {t)K{t)~K{t)A{t)-K{t)B{t) В {t)K[t),

т) = Q.

Если теперь предположить, что матрица К (t) имеет обратную, то мы знаем, что справедливо соотношение

-1 (г) к- {t) К (t) X-i (t).

Но согласно свойству 3 матрицы W (t, t) (теорема 2§ 19), матрица W (t, tj) удовлетворяет точно такому же матричному дифференциальному уравнению. Поскольку зто уравнение линейное, известно его решение (теорема 1 § 12), используя которое, немедленно получаем явный вид решения уравпения Риккати

К it, Q, t,) = [W it, tl) + Ф it, ti)Q-m it, ti)r\

Эта формула справедлива, естественно, лишь в предположении, что обратная матрица справа сушествует. Результаты проведенных вычислений можно выразить следуюшим образом.

Теорема 2. Пусть А (t), В {t) и Q Q - данные матрицы и пусть W (t, ti) - грамиан управляемости для системы

xit) = А it)x it) + В {t)u {t).

Тогда, если матрица

Н it, tl) = W (t, tl) + Ф (t, ti)Q-0 (t, tl)

обратима для всех t в интервале t t ti, то существует управление, которое доставляет минимум критерию качества

J = \n{t)yj {t)dt + х (i) Qx ().O

Преобразование координат. Чтобы получить полную картину результатов при рассмотрении задач линейной теории, важно уметь исследовать эффекты, связанные с преобразованием координат в пространстве состояний исследуемой системы. Для задач с квадратичным критерием качества основные вопросы таковы. Как изменится уравнение Риккати при замене координат? Б какой координатной системе это уравнение будет иметь простейшую форму?

Умножая теперь уравнение (1) справа и слева на матрицу (t) и воспользовавшись этим соотношением, получим

(t) = (t) А (t) + А (t) (t) - В (t) В (t),

Мы рассмотрим замену неременных z {t) = Р (f)x (f), предполагая, что Р (t) несингулярна, т. е. \ Р {t) \ Ф О ни в одной точке интервала кроме того, предположим, что Р (t) является дифференцируемой.

При такой замене переменной, как было показано в § 10 (теорема 2), уравнения системы, приведенные в условии теоремы 2, преобразуются к виду

Z (О = [Р (О л {t)p- (t) + Р {t)P- it)]z (t) -Ь

-f P it)B {t)u (t).

a критерий / примет вид h

J ==\{u [t) и [t) + z {t) F-1 (t) L {t) P {t) z (г)) dt -b u

-\-{ti)P-Hti) QP-{ti)z{ti).

Из этих двух равенств непосредственно следует, что уравнение Риккати для новой системы преобразуется к виду

к (t) = [Р (t) А it)P- it) -Ь {t)P- {t)]K (t) -

-K{t) [P {t)A (t)P\t) P {t)P-\t)] Ч-

+ К {t)P {t)B {t)B{t)P{t)K it) - P{t)Lit)P-\t).

Интересным частным случаем проведенного преобразования является P{t) Ф (Iq, t), где Ф - переходная матрица исходной системы. Эта матрица, естественно, удовлетворяет требованиям, предъявляемым к Р (t). В этом частном случае линейные члены в уравнении Риккати исчезают, и оно преобразуется к виду

K{f) К {t)G {t)Git)K [t) - Hit)H (t),

где G (t) = Ф (to, t)B{t), a H {t) определена в условии теоремы 2.

Задача о регуляторе выхода. Иногда требуется оценивать качество переходного процесса не по отклонениям переменных состояния, а по отклонениям выходных переменных системы от заданного значения (обычно нулевого). При такой постановке задачи критерий оптимальности имеет вид

J-llf (О (О у (О -Ь (О 4(0] dt -ь у (М Qy ih), (2)