где Q, L [t) - положительно полуонределенные матрицы размером р X р. Задача с таким функционалом сводится к решенной задаче о регуляторе состояния в том случае, когда система является полностью наблюдаемой. Действительно, поскольку согласно уравнению наблюдения у (t) = С (fjx (г), то функционал можно записать в виде

/ = [х (() С (t) L (t) С (t) X (t) -Ь u (t) u dt +

-bx(i)C {ti)QC{ti)xiti).

Этот функционал совпадает с функционалом задачи о регуляторе состояния в том случае, когда матрицы C{t)L {t)C {t) и C{ti)QC (tl) положительно полуопределены. Следующее утверждение формулирует условия эквивалентности этих двух задач.

Лемма 2. Если пара матриц {А (t), С (t)} наблюдаема, а матрицы L [t), Q положительно полу определены, то матрицы C{t)L (t)C (t), С {ti)QC (ti) являются положительно полуопределенными матрицами.

Доказательство. По условию леммы имеем y{t)L {t)y (t) > О ири любом у (t), откуда следует x{t)C{t)L {t)C {t)x (t) > О для любого вектора у (t) = = С {t)x (t). Но из условия наблюдаемости имеем однозначное соответствие между векторами у (i) и х (t), т. е. каждый выходной вектор у (t) пслучается при единственном состоянии X (t) и потому x{t)C {t)L {t)C {t)x (t) > 0 при любом X (t), a следовательно, матрица С [t)L (t)C (t) положительно полуопределена. Аналогично устанавливается положительная полуопределенность матрицы C{t)QC (t). О

Теперь, пользуясь теоремой 1, сформулируем решение задачи о регуляторе выхода.

Теорема 3. Пусть система (А (t), В (t), С (t)] наблюдаема и пусть L (t), Q - положительно полу опреде-ленные матрицы размеров р X р. Тогда, если на интервале h i h существует решение К (t) дифференциального уравнения

К (t) = - А {t)K it) - К {t)A (t) -Ь

+ К it)B it)B{t)K (t) - C{t)L {t)C{t)

J= [u(0.

u{t)

N{t) L{l)jlx{t)}

для системы; x{t) = A {t) x {t)-\- В {t) u {t). Покажите, что соответствующее уравнение Риккати имеет вид К {t) = =~A{t)K{t)-K(t)A(t)-L{t)-\-Uy{t)-hS{t)K{t)Y[Nit)~\. -\- В (t) К {t}], и докажите аналог теоремы 1 для этих условий.

2. Покажите, что если К {t) является решением стационарного уравнения Риккати

к {t)= - АК (t) - к {t)A + К {t)BBK (£) - L,

то е~ К (t, Q, удовлетворяет нестационарному уравнению

Риккати

k{t)K (О еВВеК {Ц - е Le~K

3. Покажите, что существует начальное состояние р {((,) для системы ураввений р (О ~ - 4 (О Р (О такое, что управление Uq (г), которое миЕимиэирует

J = u{t)\x {t) dt -Ь % {h) Qx [H],

для уравнения x (() (t) x (t) ~\- B {t)u {t) имеет вид Uq (() =

С граничным условием К (ti) = C{tj)QC (fj), то оптимальное управление, минимизирующее функционал (2), имеет вид

U (О = - B\t)K (t, C{ti)QC it,), ti)x (t).

Оптимальное движение определяется дифференциальным уравнением

X (t) = [А it) - В it)Bit)K (t, C{ti)QC iti), ti)]x it),

a минимальное значение критерия качества равно

Л - х ito)K {to, С it,)QC it,), t,)x {to). О

Заметим, что для построения обратной связи, решающей задачу о регуляторе выхода, нужна информация о состоянии системы X {t). Данных о выходной величине у {t) для решения этой задачи недостаточно. Однако, если система наблюдаема, то можно построить оценку состояния и реализовать оптимальное управление.

Задачи. 1. Рассмотрите минимизацию

V Е N {ly

7. Покажите, что если в формулировке теоремы 1 заменить члек и (г) и (t) членом вида и (t)R (t) u ((), где R (t) - положительно определенная матрица, то оптимальное управление имеет вид

U (() = - В- {t)B {t)K (t) X (().

8, Для уравнения х (t) = 0,5х (t) + и ((), х (0) = х вычислите оптимальное управление в виде обратной связи, обеспечивающее минимум критерия

Вычислите минимум J. 9. Для системы

= \о П

с= [О 1]

4. Рассмотрим систему х (t) - А {t) х {t) -\- В (г) и ((). Предположим, что мы хотим обеспечить близость траектории этой системы к заданной траектории х* (f), где х* (() является решением однородного уравнения х* (() = А (t) х* (t). Чтобы репшть эту задачу, определим критерий оптимальности в виде

/ - {и (О и (t) + [X (О - х(ог(О [(п- т

Покажите, что управление, минимизирующее эту функцию, имеет вид

о (О - F{t)x{i) -V g it).

Чему равны F (t) и g (()?

5. Пусть А п В - постоянные матрицы и пусть

X (О = Лх (О + 5и (О-

Предположим, что А не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью (лежащих иа мнимой оси). Покажите, что если К определено как

К = Пт [W(0, t)]-\

ТО [А - в В К] имеет все свои собственные числа в ллоскости Rep < <0.

6. Пусть дана система .t (() = 2х (t) + и {t), х (О) = 1, О < t < 1. Найдите оптимальное управление в виде цепи с обратной связью и в разомкнутом виде для критерия качества