Дли оценки СОСТОЯНИЯ системы постройте фильтр Калмана с собственными числами = = - 3.

10. В формулировке теоремы 1 нет требовании управлиемости пары {А (t), В (()}, Каков физический смысл оптимального управления дли неуправляемой системы?

§ 34. Тер\!ннальное управление

Если управляющее воздействие и (t) должно обеспечить перевод систелш в заданное состояние в конце интервала 0 1 или если требуется, чтобы в момент времени состояние X (t) принадлежало бы заданному множеству, то соответствующая задача минимизации квадратичного критерия называется задачей с фиксированным конечным состоянием или терминальной задачей. Для решения этой задачи методы предыдущего параграфа должны быть модифицированы. Будем рассматривать лишь случай, когда конечное состояние является жестко фиксированным. Однако в рамках развитых методов возможны различные обобщения. Поскольку конечное состояние системы фиксировано, можно, не нарушая общности, положить Q = = О в выражении для квадратичного критерия.

Минимум нормы терминального управления. Начнем с рассмотрения простейшего вида критерия, который получается, если L = 0:

J = I u{t)u{t)dt = lu()f. h

Покажем, что управление, которое было получено нами при доказательстве управляемости линейной системы (вспомним, что это было одно из возможных управлений, обеспечивающих заданное движение системы), имеет минимальную норму.

Теорема 1. Пусть А (t) и В (t) - заданные матрицы и пусть W {to, tl) грамиан управляемости системы

k{t) А (Ох {t) -\-B{t)u (t).

вычислите опткмальныи закон управления для критерия

Если По [t) - управление вида

По (О - - S {1)Ф (to, t)T.,

где 1 удовлетворяет условию

W (tc, k)z = Хо - Ф (?о,

то управление Uq {t) переводит систему из х, при 1 = 1 в Xj при t = h, причем, если п (t) - какое-либо другое управление, удовлетворяющее этим граничным условиям, то

\ Ui{t)Utit)dt>l Uo{t)it)dt. la la

Более того, если W (t, t) имеет полный ранг {система

полностью управляема), то

]Щ{1)Щ (t) dt = [Хо - Ф (to, XiYW-to, fi)[Xo- Ф(о, i)XiI.

Доказательство. То, что управление обеспечивает движение системы из Xq при t = to в при t ~ tl, было установлено в § i9. Впрочем, легко проверить непосредственно, что выполняется равенство

xi Ф (1, t) Гх (о) + I Ф (io, с) в (а) В (а) Uo (з) da] . (1) - и

Возьмем какое-либо управление % (t), которое тоже удовлетворяет граничным условиям. Тогда

XI - Ф (tt, to) Гх (о) + \ Ф(?о. о) в (3)ui (а) da] . (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим tt

- I Ф (to. 5) В {) [щ (а) - Но (а)] ds = 0. и

Домножая это равенство слева на к и вспоминая определение Uq (t) по условию теоремы, получим

щ (а) lui (а) - По (а)] d<s = 0.

Это условие позволяет проверить пепосредственно, что tl

5 {щ (а) ui (а) - щ (а) Ио (а)} da = t

= I [ui (a) - Uo (g)I [Ui (a) - Uq (a) J da.

Так как выражение справа неотрицательно, это завершает доказательство оптимальности и (t).

Заметим, что в случае обратимости матрицы W (t, ti) (а это, естественно, более пнтересный случай) имеем

5 ui (О Uo (О dt = ъФ {to, а)В (б)В (а) Ф (о, a)dax =

tt to

zWito, =

= [xo ~ Ф (0- i) xil W-- {to, tt)[ xo - Ф (0, i) XjI- о

Заметим, что поскольку мы имеем явное выражение для квадрата нормы оптимального управления, то при заданном управлении, удовлетворяющем граничным условиям.

Рис. 34.1.

мы имеем явную формулу для величины, на которую левая часть неравенства

5 u[{t)ai{t)dt>l Uo{t)ih{t)dt

to to

Превосходит правую. Структура оптимальной системы дана на рис 34.1.

Для доказательства теоремы 1 можно использовать результат теоремы 2 § 31. Этот подход помогает уяснить геометрический смысл полученного результата.