Главная
>
Управление конечномерными объектами то / приводится к виду и
[n{i), x{t)\ О ; в (О К (£) lK{t)B(t) \ k{t)-\-K{i]A{t)\- A{t)K{t) J u [t) Lx {t)j dt - % {t)K{t)x{i) Объединяя эти два интеграла и используя уравнение Рпк-кати для К (t), получим - - ; Вit) Kit) ;К щ B{t) \ к [г) В (t) В Щ К (i) dtxito)K(to)x(to) = 5u(0+ B{t) K{t)x{t)fdt-\-x(t,)K(to)xito}. u{t) Ls [ty Полагая v (t) = u (t) -l,- B (t)K {t)x (t), получим уравнение движения относительно переменных х {t) и v (t) X (t) = [Л (f) - В {t)B {t)K [to. K, lx (t) -ЬВ t)y (t) и мипимизируемый функционал вида Jlv{t)v (t) dt + x (to) к {to, Кг, ) X (g - x (ii) Kx (). Этим завершается доказательство эквивалентности, требуемой условиями теоремы. О Доказанная теорема (заметьте, что доказательство похоже на доказательство теоремьт 1 § 33) сводит задачу с ненулевой матрицей L (f) к эквивалентной задаче относительно управления v (t), критерий которой имеет нулевую матрицу L (t). Эту эквивалентную задачу мы уже решили (теорема 1 этого параграфа). Формулы для вычисления .оптимального управления оказываются довольно сложными. Структурная схема оптимальной системы с обратной связью совпадает с той, которая была приведена при ре- шении задачи со свободным конечным состоянием. Разница заключается в граничных условиях уравнения Риккати, Матрицу Kl необходимо подобрать (в задаче со свободным конечным состоянием начальное условие уравнения Риккати было фиксировано и равно матрице Q, входящей в формулировку квадратичного критерия общего вида) так, чтобы траектория движения проходила в момент fl через заданную точку х (ti) = х. Таким образом, матрица К (t) коэффициентов усиления в цепи обратной связи будет существенно изменяться в зависимости от заданного значения Xj. Поэтому для реализации такой системы придется решать уравнения Риккати каждый раз, как только изменились входные данные относительно величины Х. Этот существенный конструктивный недостаток связан с требованием точного попадания в точку х,. Если ввести стоимость отклонения от Xj, т. е, О, в формулировку критерия качества, то матрица обратной связи не будет зависеть от величины х. Оптимальная следящая система. Задачи о регуляторе состояния и о регуляторе выхода являются частным случаем более общей задачи слежения. Мы рассмотрим задачу оптимального слежения выхода системы у (t) за заданной входной функцией времени z (t). Будем предполагать, что функция Z (t) известна при i- Обозначим ошибку слежения A{t) = ъ {t) - у (f) и рассмотрим следующий критерий качества: J it) L it) Д (0 4- u (f) u (OJ dt + Д if) QA (t), (4) где L (t), Q - положительно полуонределенные матрицы. Тогда решение задачи о минимизации этого функционала вдоль траектории движения линейной системы непосредственно следует из результатов § 32 и теоремы 2. Оставляем читателю доказательство следующей теоремы. Теорема 3. Для линейной наблюдаемой системы x(t) {t)x{t) -Ь В {t)n(t), y{t) = C {t)x{t) управление в виде обратной связи, минимизирующее критерий качества (4), где z (/) - заданная непрерывная функция, имеет вид U (t) = В (t) [у (t) ~ К {t)x {t)l l/ol 3 Ю. Н. Андреев Положительно определенная, симметрическая матрица К it) является решением уравнения Риккати к (t) ~ К т {/) - - A{f)K{t) + к {i)B {t)B{f)K{t) - C{t)L{t)C {t) с граничным условием К (tl) = С {t,)QC (t,), вектор \ {t) является решением уравнения W {t) = ~ [Л it) - В {t)B{t)K{t)\ \{t) - C{t)L{t)z (t) с граничным условием V (О = C{fi)Qt (О. Оптимальная траектория есть решение линейного дифференциального уравнения X (t) = [A{t) ~ В {t)B (t)K {t)]x (t) + В {t)B{t)y{t) с начальным условием х (to) = х , Q Заметим, что как уравнение Риккати, так и его начальные условия не зависят от желаемого выхода z (t). Отсюда следует, что матрица обратной связи К (t) полностью определяется заданием матриц системы, критерия стоимости и временным интервалом Uq, f]. Заметим далее, что структура регулятора получается точно такая, как и в задаче о регуляторе выхода. Значит, собственные числа оптимальной следяш;ей системы с обратной связью совпадают с собственными числами оптимальной системы, полученной прп рептснии задачи о регуляторе выхода. Отличие оптимальной следяш;ей системы от оптимального регулятора выхода состоит в наличии вектора v (f). Важно помнить, что для вычисления текущего значения функции V (t) необходимо знать функцию желаемого выхода z {t) при всех 1- Это условие редко выполняется в реальных системах. Структурная схема оптимальной следящей системы приведена на рис. 34.4. Если желаемый выход принадлежит некоторому известному классу функций, например, является решением однородного уравнения Z (t) = Az (t), то задачу слежения моншо свести к задаче о регуляторе состояния, включив вектор z (/) в общее число перемеиаых состояния и сконструировав идентифика-
|