тор этого состояния. Напомним, что подобный подход был использован в § 25 при конструировании асимптотического дифференциатора. С этих позшщй задача о следящей системе изучалась в § 31.

tit)

Рис. 34.4.

Задачи. 1. Определите, при какЕХ условиях существуег уирав-ление Цу {t), которое переводит систему

i{t) = А {t) X (t) + S {t) u (О

из Хц [фи 0 в Xi при fj в минимизирует fl

/ = {и\t) U (() 4- 2и {t) Nn {t) -j- x {t) Lx (()) dt.

Предположите, что грамиан управляемости W (i, ti) - положительно определенная матрица. Найдите управление, предполагая, что оно существует.

2. Пусть С - матрица т Х п ранга т. Найдите и (() такое, что состояние системы

X (О = Л it) x[t) + В (t) и (t), X (0) = х попадает в ядро С прн f = 1 и

J ={x{t)Ht)x{t)n {t)n(t)}

минимизируется.

3. Покажите, что существует начальное состояние для сопряженных уравненнй

P(t) = -A{t)p{t) которое миними

J = и (f)u(f)

такое, чго управление, которое минимизирует

5 МО

ыло минимальным Найдите и (t) в виде обратной связи, т. е. как

функцию f it)

7, Пусть А - постоянная матрица X и, В - ностояннаи матрица п % т. Пусть пара {А, В) управляема. Дана известная функция времени v {t). Найдите управление и (£), которое переводит систему X it) ~ А% {t) --f- Вм {}) -f- С\ {t) из х в О за время Т я минимизирует

/ = n{t)\x [t) dt.

8. Найдете управление и (t) в конечное время Т такие, что скалярй11я система £ {t) = и (() переходит из х (0) = О в i (Т) = 1 при минимуме (по а (1) и по Т. так как 7 не фиксировано) величины

/ = u{t)dt т.

9. Рассмотрите задачу попадания траектории х (t), £ (t) = и (t), I (0) = 1 на линию x = at - а при минимуме

J = \{u{t){-x{t)}dt, о

*1 - фиксировано.

И переводит состояние системы i (i) = Л {t)x {t) -\- В {t)n (() из Хц прн (о 8 Kl при tl, имеет вид

u(f) = ~В (t)p(t).

4. Найдите чпяпмальное значение di (t)dt при ограничениих

x (п) = о, г (0) =1.

5. Пусть А - постоянная матрнца п Х п и Ь - постоянный п-вектор. Пусть пара {А, Ь) управляема. Для заданной функции

{t), определенной на интервале Oio, найдите x такое, чтобы минимизировать интеграл

6. Найдите ФУНКЦИЮ времени и (f) такуто, чтобы неустойчивая система х (t) = х [tj -j- и (t) переходила в нулевое состояние, а

10. Найдите управление, переводящее систему £ (t) = Ь (t)u (t) из состояния а: (0) = 1 в состояние х (1) = О и минимизирующее

/ = J u4t. о

11. Найдите и (t) такое, что скалярная система * (t) = = - x (t) и (t) переходит из г = 1 при t = О в х Q при t = 1 и

0,5 1

J = u(t)dt 2 ы2 (() at достигает минимума.

§ 35. Стационарные системы

При переходе к стационарному случаю полученные ранее результаты упрощаются и их легче интерпретировать. В стационарном случае решение уравнения Риккати может быть получено (по крайней мере, в принципе) в замкнутой форме. Оно сводится к вычислению матричных экспонент и взятию обратной матрицы. Заметим, что даже в случае стационарной системы оптимальный закон управления является нестационарным. Чтобы получить стационарный закон управления, необходимо рассмотреть иове-денне систе4ш на пол бесконечном интервале времени 0 £ оо. Если система является управляемой и идентифицируемой, то оптимальный стационарный закон управления, вычисляемый как решение алгебраического нелинейного уравнения Риккати, существует и единствен. Более того, полученная оптимальная система является асимптотически устойчивой. Решение этой задачи о стационарном оптимальном регуляторе состояния используется при конструпровании многих систем автоматического управ.ления.

Алгебраическое уравнение Риккати. Начнем исследование стацпонарпых объектов с изучения свойств алгебраического уравнения Риккати, решение которого дает оптимальный закон управления для стационарной системы с бесконечным временем с>т11;естсоваЕия, Сначала докажем один вспомогательный результат.

Л е м м а. Пусть система {А, S, С] управляема и идентифицируема. Пусть, далее, К, таковы, что матрицы