ЧТО = Уос, имеем

[Л - BBvY F + v[A- BBv] + ее + fLbbt -

= ЛТ + л + rC - F ,BBT 0. О

Сформулируем отдельно одно важное утверн?дение, доказанное нами при доказательстве теоремы.

Следствие. Если Foe - положительно определенное решение уравнения (АР) в условиях теоремы 1, то все решения системы х (/) = [А - ВВУк,Ы (i) стремятся к нулю при t -у оо и интеграл

является сходящимся. Q

Таким образом, замкнутая система с обратной связью U (() = - BV< x(t), где Foe является решением уравнения (АР), будет асимптотически устойчивой системой.

Явный вид решения стационарного уравнения Риккати. Аналогично тому, как решение стационарных матричных уравнений § 12 может быть выражено через матрич-ные экспоненты в том случае, когда сушествует решение соответствуюшего алгебраического уравнения Ляпунова, решение стационарного уравнения Риккати

F (г) = - AV (t) ~ V it)A + F it)BBV (t), V (0) = Fo

(УР)

можно записать в замкнутой форме в том случае, если известно решение алгебраического уравнения (АР). Обозначим решение (АР) через F< и сделаем в уравнении (УР) следующую замену неременной: (t) ~ V(t) - Foe. Тогда

Y (г) = - [А VBB]Y{t) - Y {t)[A ~ BBV] +

+ ¥ {t)BBW{t). (4)

Уравнение по-прежнему является нелинейным, но если его справа и слева домножить на матрицу Y * {t), то оно становится линейным относительно (jt):

- [А - BBVl [t) (0-(-~ {t)[A-VBB\-BB.

14 Ю. H. Лвдреев

Мы воспользовались равенством

(t) = - (О t (О (t).

Линейные матричные уравнения вида (4) были рассмотрены в § 12. Имея в виду следствие теоремы 1, согласно которому [Л - BBVa,] - устойчивая матрица, существует и единственна положительно определенная матрица Qi, которая удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова

[Л ~ BBVlQi + Ci W - BBV\ ~ BB = 0, и одновременно

Рещение уравнения (4) с использованием матрицы за-пищется в виде (см. 12)

Используя эту формулу, получим рещение уравнения Риккати (УР) в явном виде

Единственность оптимального управления. Приведем теперь один результат относительно единственности реще-ния алгебраического уравнения Риккати (АР),

Теорема 2. Если система {Л, В, С] управляема и идентифицируема, то существует единственное решение уравнения VA -\- AV ~ VBBV + СС = О, которое обладает тем свойством, что матрица [А -BBV] устойчива.

Доказательство. Предположим противное. Пусть имеется две симметрических матрицы V и V, которые являются такими решениями приведенного в условии теоремы уравнения, что обе матрицы [А - BBVi], i = = 1, 2, имеют свои собственные значения слева от мнимой оси. Тогда все решения систем х [t) = \А - BBVtH (t), i = 1, 2, стремятся к нулю при - - оо. Более того, как

мы видели при доказательстве теоремы 2 § 34, (

5 {и (б) и (б) + х (о) ССх (а)} do = о

= х (0) Vx (0) - х (t) Угх (t) -Ь 5II (О + (О IP =

= x (0) Vx (0) - х (t) уах (г) + 51U (О + Тх (О Р d;

поскольку по предположению Ф VR обе матрицы симметрические, то существует хо такой, что xqFjxo Ф xfaxo. Пусть, например, xqFxo > X0F2X0. Тогда примем и (t) - = - bfgx (t). Устремляя t к схз, имеем

xifaxo = x;Fixo + j II5 (Fl - Fa) x (t) f dt, 0

что очевидно невозможно. мы пришли к противоречию, предположив, что f fa и [л - BBVj а [Л ~ BBV] устойчивы, о

Стационарные регуляторы. Применяя теоремы 1, 2, можно анализировать еше один специальный случай. Именно, случай минимизации квадратичных функционалов для линейных стационарных систем на интервале О t<C 00. Эта задача имеет особый интерес из-за сравнительно простой формы представления ответа. Следующая теорема содержит основные результаты.

Теорема 3, Пусть стационарная система {Л, В, С] управляема и идентифицируема. Пусть, далее, Va, - положительно определенное решение уравнения

AV + FA - VBBV = - СС.

Тогда существует управление, которое минимизирует

у = 1 (и (t) U (О + х (О ССх (t)} dt

для системы х (t) = Ах (t) Ви (t), х (0) = хо, причем минимальное значение J равно xfocxo. Минимизирующее