§ 4. Ранг матрицы. Системы линейных уравнений

Понятие онределителя будет использовано для определения важнейшей числовой характеристики произвольной прямоугольной матрицы - ранга матрицы. Всюду в этом параграфе исходное кольцо К является полем.

Линейная зависимость. Напомним, что строки (столбцы) одной и той же длины п являются матрицами одинакового размера, которые можно складывать между собой и умножать на числа в соответствии с введенными правилами действий с матрицами.

Определение 1. п строк (столбцов) одинаковой длины Хз, . . Хп называются линейно независимыми если из равенства

следует = аз = . . . = - 0. В противном случае, т. е. если суш,ествует п чисел а, одновременно не равных нулю и таких, что выполнено равенство ссх+агХз-г .- . . . + тХп = О, система п строк (столбцов) х, Xj, . , . . . ., Хп называется линейно зависимой. Q

Линейную комбинацию, все коэффициенты которой равны нулю, принято называть тривиальной, С помощью этого термина определение линейной зависимости можно сформулировать так.

Система строк (столбцов) линейно зависима, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих строк (столбцов). Система строк (столбцов) линейно независима, если только тривиальная линейная комбинация этих строк (столбцов) равна нулю.

Сформулируем ряд простых предложений, связанных с введенным понятием.

Предложение 1. Система из п строк {столбцов) л 1 линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна из строк {один из столбцов) является линейной комбинацией остальных.

Необходимость. Если система линейно зависима, то хотя бы один из коэффициентов в равенстве ах + Н~ 2X3 + - . . + af[S = О отличен от нуля. Пусть ф Ф О, тогда можно записать

т. е. г-я строка (столбец) является линейной комбинацией остальных.

Достаточность. Если какая-то строка (стол-бед) есть линейная комбинация остальных строк (столбцов), то выполнено равенство = aXj -f + ctx, а это и есть линейная комбинация п строк (столбцов), причем не все коэффициенты в этой комбинации - нули (например, = 1). Q

Предложение 2. Система строк {столбцов), ко-торая содержит нулевую строку {нулевой столбец), является линейно зависимой.

Нулевая строка (столбец) является линейной комбинацией остальных строк (столбцов). Значит, согласно предложению 1 система с нулевой строкой (с нулевым столбцом) линейно зависима.

Предложение 3. Если некоторые из строк (столбцов) Xi, . . ., Xj. (r п) состлеляют сами по себе линейно зависимую подсистему, то и вся система Хц Хд, . . . . . ., x,i линейно зависима.

Действительно, если существует равная нулю нетривиальная линейная комбинация некоторых из строк (столбцов) х, Х2, . . ., Ху, то добавив к ним остальные строки (столбцы) с нулевыми коэффициентами, получим равную нулю нетривиальную линейную комбинацию всех строк (столбцов).

Предложение 4. Любые строки {столбцы), входящие в линейно независимую систему, сами по себе образуют линейно независимую систему.

В самом деле, если бы часть строк (столбцов) линейно независимой системы была бы линейно зависима, то согласно предыдущему предложению была бы линейно зависима и вся данная система строк (столбцов).

Предложение 5. Если строка (стюлбец) х является линейной комбинацией строк (столбцов) Xj, х, . . . . . ., х, то она (он) является также линейной комбинацией любой системы строк (столбцов), содержащей Хц х, . . .

. . ., Xj..

Для доказательства к данной линейной комбинации достаточно добавить недостающие строки (столбцы) с нулевыми коэффициентами.

Ранг матрицы. Пусть дана] произвольная матрица А {т X п). Выберем в этой матрице к строк и к столбцов.

где, конечно, к не превосходит наименьшее из чисел т, п.

Определение 2. Детерминант, составленный из элементов, стояпщх на пересечении выбранных строк и столбцов, называется минором прямоугольной матрицы А.

Определение 3. Наивысший порядок г отличных от нуля миноров матрицы А называется рангом матрицы А.

Определение 4. Любой отличный от нуля минор норядка г называется базисным минором, а строки и столбцы, на которых он расположен, называются базисными строками и столбцами. О

Ясно, что базисный минор может быть не один

Теорема 1 {о базисном миноре). Пусть в прямоугольной матрице А (т X п) ранга г выбраны любые г базисных строк (столбцов). Тогда любая другая строка {столбец) матрицы есть линейная комбинация выбранных строк (столбцов).

Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что базисный минор расноложеи в левом верхнем углу матрицы

А -

. . . а.

Знаком ? здесь и в дальнейшем обозначаются элементы матрицы, не представляющие интереса. Так как утверждение теоремы доказывается совершенно аналогично для всех строк и столбцов, мы докажем, например, что (г -Ь 1)-я строка матрицы Л (тг X т) есть линейная комбинация первых г строк. Рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Согласно условию теоремы определитель этой системы отличен от нуля, поэтому решение сцстеьгы существует.