{u(Ou(0 + x {t) ССх {t)}dt

сходится. Это является немедленным следствием предположения об управляемости, из которого с учетом теоремы 1 § 33 следует

(и (О U (О + х {t) ССх (t)} dt > х (t) V (О, О, t) x (О >

>8Х(0.

Сделаем замену переменной

V (t) = u(0 -Ь 5Т х (О,

называемую иногда преобразованием Риккати. Уравнения движения примут вид

к (О - [Л ~ BBV\x (t) + By (О, и / становится равным

= J ([V (t) - BVx {t)Y [v (t) ~ BVx (01 +

+ x{t) CCx{t))dt.

Преобразуя подынтегральное выражение с использованием равенства

VA + AV - VBBV - - СС,

получим

(v (t) у (t) - [{А - BBV) x [t] -Ь By {t)\ Vx (t) -- x (0 [{A - BBV) x (t) + By {t)\} dt

y{t)y{t)dt -x{t)Vx{t)

управление в виде обратной связи имеет вид VL{t) = -BVxit),

а в разомкнутой форме - вид

Доказательство. Сначала заметим, что если IIX (О II приближается к нулю при t-oo, то интеграл

Из следствия теоремы 1 известно, что все решения kit) = [Л - ВВУоЛх it)

стремятся к нулго при tоо. Поэтому лучший выбор V it) есть О.О

Структурная схема стационарного оптимального регулятора приведена на рис. 3.5.1.

Рис. 35.1.

Пример. Рассмотрим минимизацию

/ = -Ь xil)}dt

для ± it) = и it). Уравнение Риккати в этом случае имеет вид

V it) = г>2 it) - i.

Можно, конечно, прямо решить зто уравнение, но цель состоит в иллюстрации полученных выше результатов, и поэтому мы будем следовать всем этапам предыдущих рассуждений. Имеется положительно определенное решение уравнения - 1 - О, г? - 1 (есть и рещение v = -1, которое не представляет для нас интереса). Пусть = = V - i, тогда

t(o it) 4-2(0;

поделив на и полагая Р * = ср, получим it) - [2ср it) -Ь 1).

Если X (0) фиксировано, а х (Т) свободно, то минимизирующее и (t) равно - V it)x{t), где а в определении v (i) выбирается так, чтобы выполнить условие v (Т) = 0. Минимальное значение интеграла в этомслучае равно x\0)viO) и

i-\-e

(0 = !, Vt) (T-t).

Заметим, что v (t) 1 при {t ~ Т) 0. ©

Замечание. Результат, аналогичный теореме 3, может быть получен для квадратичного функционала вида

у = J (и (t) Ru {ty-\- х (t) Lx (t)} dt,

где L = V симметрическая неотрицательно определенная матрица, а Jf? - положительно определенная матрица.

Задачи. 1. Пусть система {4, В, С} управляема и наблюдаема. Пусть - симметрическое положительно определенное решение уравнения AY -У ТА - YBBY Л- СС = 0. Покажите, что V (tl, Q, 0) приближается к при - оо для всех Q = = <? > 0.

2. Пусть является решением AV VA - VBBV + М = = О таю , что матрица [А - BBV) устойчива. Предположим, что N определена условием

и обратима. Тогда покажите, что = N- является также решением уравнения

AV -У VA ~ VBBV + М = 0.

и что матрица [А - BBV BBN-Ц устойчива.

3. Получите с помощью теоремы 1 доказательство утверждения: всякая положительно определенная матрица имеет единственный симметрический положительне! определенный квадратный корень.

Значит, ц> (t) = аё~ ~ ~