Главная
>
Управление конечномерными объектами g Stl СТАЦИОЙАРЙЫЕ СИСТЕМЫ $99 4. Пусть является положительно определенным решением квадратного матричного уравнения AV+ VA ~ VBBV -\- СС = 0; если А А и В С, то покажите, что тоже удовлетворяет этому уравневию. Если система [А, В, С] управляема и наблюдаема, то могут ли существовать другие положительно определенные решения? 5. Найдите аир такие, что для уравнения X (О + а #(0 + рз: (t) = О интеграл имеет минимум. Покажите, что ответ не зависит от * (0) н а: (0). Объясните, почему? 6. Покажите, что закон управления в виде обратной связи для стационарной системы X (О = Ах (О + Ви (О, Tit) = Сх (О и критерия качества / = (и (О U (t) -\- X (t) ССх (01 dt + х (tl) Qx (tl) о имеет форму и (t) = Кх (t), где К - постоянная матрица, в том случае, если Q удовлетворяет уравнению QA + AQ - QBBQ -Ь СС - О и является положительно определенной матрицей. 7. Пусть (Л, В, С) стационарная управляемая н наблюдаемая система. Найдите и [t) такое, что для i{t) = Ax{t)-\-BM{t), yit) = Cx(t), c = [i 01 интеграл
имеет ьганимум. 8. Для системы и критерия качества J = e4u4t)Jr4it))dt покажите, чэо вещественные части собственных чисе1 замкнутой оптимальной системы удовлетворяют условию Re < - 1. 9. Пусть А (t) - ах (t) + п ((), J = {и (/) + [ix {t)} dt, где а, Р - положительные постоянные. Вычислите оптимальный закон управления, решив соответствующее уравнение Риккати. Будет ли полученная замкнутая система асимптотически устойчива? 10, Вычислите оптимальное управление для спстемы
[1 -и. /j (uHt)-\-xl(t))dt. Указание. Введите дополнительную переменную состояния Хд = и (t) и рассмотрите пол>чоннуго систему 3-го порядка. 11. Покажите, что решение алгебраического уравнения Риккати в условиях теоремы 1 является функцией Ляпунова. § 36. о решении уравнения Риккати В §§ 33-35 были получены условия, при которых существует решение задачи о11тимального управления с квадратичным критерием качества. Эти условия были получены вместе с формулами для минимизирующего управления и для оптимальной траектории. Все эти конструкции зависели от возможности решить матричное уравнение Риккати при определенных граничных условиях, заданных в некоторый момент времени. Здесь мы исследуем уравнение Риккати само по себе. Покажем связь уравнения Риккати с линейной системой сопряженных уравнений, именно, установим, как связано уравнение Риккати с системой канонических уравнений Гамильтона. Локальные условия существования решения уравнения Риккати. Начнем с установления важного, и, вообще говоря, удивительного факта, состоящего в том, что рещение уравнения Риккати может быть сведено к решению соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений. Сначала заметим, что скалярное уравнение Риккати может быть приведено к линейному уравнению 2-го порядка (или к системе двух линейных уравнений 1-го порядка) простым преобразованием переменных. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка (г) + р it)± it) + у {t)x (t) = 0. Примем к {i) х [t) I х [t), тогда k{t) = и, значит, к (t) + kt) + р {t)k (О = ~ V it). Подобное преобразование можно привести и в нескалярном случае. Начнем, однако, не с векторного уравнения 2-го порядка, а с пары линейных векторных уравнений 1-го порядка. Лемма. Пусть Ф является переходной матрицей для системы 2п линейных дифференциальных уравнений -х(т Г A{t) -B(t) B(t)irx{ty Рассмотрим разбиение матрицы Ф на блоки размером (и X п) ф ГФп CDia Если определить матрицу К в виде К {t, Q, h) = №22(1, t) ~ QФ ih, t)]-ЧQФll ih, t) - - Ф21 ik, t] или, эквивалентно этому представлению, в виде К {t, Q, к) = [Ф21 {t, tl) -f Ф,з {t, М<?][Фп (t, tl) + mo, очевидно, К {ti, Q, t) = Q и -K{t,Q,ti) = ~-A{t)K{t,Q,ti)~K{t,Q,t,)Ait) + + К {t, Q, tl) В (t) B (t) K{uQ, tl) - L (t) в том случае, если указанное обращение существует. Доказательство. Докажем лемму только для первого из указанных представлений матрицы К (t, Q, t-. Сначала вспомним равенства, доказанные ранее (см. § 10): -Фв(<1, t) = -Фв{tг,t)B{t), A.p-ip~i(t)P{t)P-t). Используя эти два факта, проверим, что матрица К (t, Q, ti)
|