Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139

g Stl СТАЦИОЙАРЙЫЕ СИСТЕМЫ $99

4. Пусть является положительно определенным решением квадратного матричного уравнения

AV+ VA ~ VBBV -\- СС = 0;

если А А и В С, то покажите, что тоже удовлетворяет

этому уравневию. Если система [А, В, С] управляема и наблюдаема, то могут ли существовать другие положительно определенные решения?

5. Найдите аир такие, что для уравнения

X (О + а #(0 + рз: (t) = О

интеграл

имеет минимум. Покажите, что ответ не зависит от * (0) н а: (0). Объясните, почему?

6. Покажите, что закон управления в виде обратной связи для стационарной системы

X (О = Ах (О + Ви (О, Tit) = Сх (О

и критерия качества

/ = (и (О U (t) -\- X (t) ССх (01 dt + х (tl) Qx (tl) о

имеет форму и (t) = Кх (t), где К - постоянная матрица, в том случае, если Q удовлетворяет уравнению

QA + AQ - QBBQ -Ь СС - О

и является положительно определенной матрицей.

7. Пусть (Л, В, С) стационарная управляемая н наблюдаемая система. Найдите и [t) такое, что для

i{t) = Ax{t)-\-BM{t), yit) = Cx(t), c = [i 01 интеграл

0

имеет ьганимум.

8. Для системы

и критерия качества

J = e4u4t)Jr4it))dt



покажите, чэо вещественные части собственных чисе1 замкнутой оптимальной системы удовлетворяют условию Re < - 1.

9. Пусть А (t) - ах (t) + п ((), J = {и (/) + [ix {t)} dt, где

а, Р - положительные постоянные. Вычислите оптимальный закон управления, решив соответствующее уравнение Риккати. Будет ли полученная замкнутая система асимптотически устойчива?

10, Вычислите оптимальное управление для спстемы

0

- 0-

[1 -и. /j (uHt)-\-xl(t))dt.

Указание. Введите дополнительную переменную состояния Хд = и (t) и рассмотрите пол>чоннуго систему 3-го порядка.

11. Покажите, что решение алгебраического уравнения Риккати в условиях теоремы 1 является функцией Ляпунова.

§ 36. о решении уравнения Риккати

В §§ 33-35 были получены условия, при которых существует решение задачи о11тимального управления с квадратичным критерием качества. Эти условия были получены вместе с формулами для минимизирующего управления и для оптимальной траектории. Все эти конструкции зависели от возможности решить матричное уравнение Риккати при определенных граничных условиях, заданных в некоторый момент времени. Здесь мы исследуем уравнение Риккати само по себе. Покажем связь уравнения Риккати с линейной системой сопряженных уравнений, именно, установим, как связано уравнение Риккати с системой канонических уравнений Гамильтона.

Локальные условия существования решения уравнения Риккати. Начнем с установления важного, и, вообще говоря, удивительного факта, состоящего в том, что рещение уравнения Риккати может быть сведено к решению соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений. Сначала заметим, что скалярное уравнение Риккати может быть приведено к линейному уравнению 2-го порядка (или к системе двух линейных уравнений 1-го порядка) простым преобразованием переменных.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

(г) + р it)± it) + у {t)x (t) = 0.



Примем к {i) х [t) I х [t), тогда k{t) =

и, значит,

к (t) + kt) + р {t)k (О = ~ V it).

Подобное преобразование можно привести и в нескалярном случае. Начнем, однако, не с векторного уравнения 2-го порядка, а с пары линейных векторных уравнений 1-го порядка.

Лемма. Пусть Ф является переходной матрицей для системы 2п линейных дифференциальных уравнений

-х(т Г A{t) -B(t) B(t)irx{ty

Рассмотрим разбиение матрицы Ф на блоки размером (и X п)

ф ГФп CDia

Если определить матрицу К в виде

К {t, Q, h) = №22(1, t) ~ QФ ih, t)]-ЧQФll ih, t) -

- Ф21 ik, t]

или, эквивалентно этому представлению, в виде

К {t, Q, к) = [Ф21 {t, tl) -f Ф,з {t, М<?][Фп (t, tl) +

mo, очевидно, К {ti, Q, t) = Q и

-K{t,Q,ti) = ~-A{t)K{t,Q,ti)~K{t,Q,t,)Ait) +

+ К {t, Q, tl) В (t) B (t) K{uQ, tl) - L (t)

в том случае, если указанное обращение существует.

Доказательство. Докажем лемму только для первого из указанных представлений матрицы К (t, Q, t-. Сначала вспомним равенства, доказанные ранее (см. § 10):

-Фв(<1, t) = -Фв{tг,t)B{t),

A.p-ip~i(t)P{t)P-t).

Используя эти два факта, проверим, что матрица К (t, Q, ti)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139