Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139

в ТОМ виде, как она приведена в условии теоремы, удовлетворяет уравнению Риккати. Граничные условия очевидно выполнены, поскольку Ф (ij, tj) = Е. Займемся алгебраическими выкладками. Определим матрицы X (t) и Р (t) следуюи];им равенством:

[X{t),~P{t)][Q,-E}

Фи {fl, t) Ф13Р1, ) .Фг1 (h, t) Ф29{1, t) .

в соответствии с утверждением леммы К (t, Q, tj) = = Р~ {t)X (t) и отсюда

К {и Q. h) = - (О р (О т {t) ч- р- it) X it).

Используя свойства Ф, имеем

L{t) A(t)

[X{t),-P{t)} = [X{t),P{t)] отсюда

K{t,Q,ti) = P- (0 X (0 В (О P- (О X (О -- р- (О Р (t) А (О Р- (О Р (О (О -

-P{t)X {t)A {t) - Р~ЩР {t)L (t) = = K{t, Q, h)B {t)B{t)K {t, Q, tl) ~ A{t)K {t, Q, ti)-~

- К {t, Q, tM it) - L it). О

Естественно, что матрица [Ф23 (i, t) - Ф]2 (n t)], которая появляется в приведенном выше выражении для К, не обязательно обратима при всех t. Поэтому из леммы, конечно, ие следует суи];ествование решения уравнения Риккати для всех моментов времени. Однако Ф22(11 tl) = Е ш Ф12 (tl, tl) = О являются непрерывными функциями времени. Так как Е обратима, то понятно, что [Ф22 (1, t) - QФl2 (tl, t)] тоже обратима для тех t, при которых величина t - ti достаточно мала в сравнении с Q. Поэтому для моментов времени, близких к начальному, мы имеем следугои];ую локальную теорему суи];ествования решения уравнения Риккати.

Теорема 1 (локальная теорема суи];ествования решения уравнения Риккати). Пусть матрицы А, В и L ограничены на интервале \ t - ц \ Т, а - заданная постоянная матрица. Тогда существует е О такое,



что для \t - I <С в единственное региение уравнения Риккати сугцествует па интервале \t - <

Доказательство. Суш,ествование следует из предыдущей леммы, если принять = Q. Единственность следует из того факта, что в любом ограниченном подмножестве RX правая часть уравнения Риккати удовлетворяет условию Липшица, и значит, применима теорема единственности решения дифференциального уравнения. О

Пример. Рассмотрим уравнение Риккати

k (t) = k%t) + 1.

Связанная с ним система линейных уравнений является гармоническим осциллятором:

/со, имеет

х {ty

.Р (t).

.р (0.

Решение, соответствующее а; (0) = 1, р (0) вид

поэтому

-X (0]

cos (

- sin t

зт (

cos (

.йо.

K{Uk, 0) =

кй cos (- sin t

Канонические уравнения. Линейная система 2п уравнений имеет каноническую форму, если существует скалярная функция Н, называемая гамильтонианом, такая, что Н зависит от X, р и U

Р(0 =

Очевидно, что квадратичные гамильтонианы приводят к линейным уравнениям. Для пары уравнений, приведенных выше, соответствующий им гамильтониан имеет вид

Н (X, Р, О = 4 (О (О X (О + Р (О А (t) X (О--~ р(0 В (t).

Эти понятия играют центральную роль в классическом вариационном исчислении и в теории принципа максимума Понтрягина.



Ait) -B[t)B{t)

x{t)-

x(fo)-

-L(t) ~A(t)

Lp (OJ

.p(o)

.Po.

причем оптимальное управление имеет вид U (t) = - В {t)p it). О

В классическом вариационном исчислении условия существования минимума формулируют в терминах отсутствия сопряженных точек и фокальных точек для траектории канонической системы. Напомним, что две точки в моменты времени и называются сопряженными точками, если можно найти нетривиальное решение канонических уравнений такое, что х (i) - х (ti) = 0. Две точки называются фокальными, если можно найти нетривиальное решение канонических уравнений такое, что х (ip) = = Р (i) = О- Существование минимума и отсутствие сопряженных и фокальных точек связано между собой сле-дугошрм образом.

Из теоремы 1 § 33 известно, что задача со свободным конечным состоянием без ограничений имеет решение, если соответствующее уравнение Риккати имеет решение h), которое существует в интервале <о i*

Можно доказать, что это справедливо тогда и только тогда, когда на отрезке нет фокальных точек, т. е. что

условие отсутствия фокальных точек на рассматриваемом интервале времени является необходимым и достаточным условием существования решения уравнения Риккати.

Для задачи с фиксированным конечным состоянием достаточным условием существования минимума является условие существования матрицы К (t, Ki, t,) для некоторой симметрической матрицы К. Вопрос о точном выборе Ki оставлен открытым.

Можно показать, что выбор такой матрицы начальных условий которая обеспечивает существование решения на 0 tl, возможен тогда и только тогда, когда интервал to t ti не содержит сопряженных точек.

Следуюп],ая теорема, приведенная без доказательства, проясняет одну из причин этого обстоятельства.

Теорема 2. Пусть х {t)uu {t) оптимальны в смысле теоремы 1 § 33 или теоремы 2 § 34, Тогда существует п-вектор р [t) такой, что х м р [t) удовлетворяют системе 2п канонических уравнений



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 [ 132 ] 133 134 135 136 137 138 139