Главная
>
Управление конечномерными объектами в ТОМ виде, как она приведена в условии теоремы, удовлетворяет уравнению Риккати. Граничные условия очевидно выполнены, поскольку Ф (ij, tj) = Е. Займемся алгебраическими выкладками. Определим матрицы X (t) и Р (t) следуюи];им равенством: [X{t),~P{t)][Q,-E} Фи {fl, t) Ф13Р1, ) .Фг1 (h, t) Ф29{1, t) . в соответствии с утверждением леммы К (t, Q, tj) = = Р~ {t)X (t) и отсюда К {и Q. h) = - (О р (О т {t) ч- р- it) X it). Используя свойства Ф, имеем L{t) A(t) [X{t),-P{t)} = [X{t),P{t)] отсюда K{t,Q,ti) = P- (0 X (0 В (О P- (О X (О -- р- (О Р (t) А (О Р- (О Р (О (О - -P{t)X {t)A {t) - Р~ЩР {t)L (t) = = K{t, Q, h)B {t)B{t)K {t, Q, tl) ~ A{t)K {t, Q, ti)-~ - К {t, Q, tM it) - L it). О Естественно, что матрица [Ф23 (i, t) - Ф]2 (n t)], которая появляется в приведенном выше выражении для К, не обязательно обратима при всех t. Поэтому из леммы, конечно, ие следует суи];ествование решения уравнения Риккати для всех моментов времени. Однако Ф22(11 tl) = Е ш Ф12 (tl, tl) = О являются непрерывными функциями времени. Так как Е обратима, то понятно, что [Ф22 (1, t) - QФl2 (tl, t)] тоже обратима для тех t, при которых величина t - ti достаточно мала в сравнении с Q. Поэтому для моментов времени, близких к начальному, мы имеем следугои];ую локальную теорему суи];ествования решения уравнения Риккати. Теорема 1 (локальная теорема суи];ествования решения уравнения Риккати). Пусть матрицы А, В и L ограничены на интервале \ t - ц \ Т, а - заданная постоянная матрица. Тогда существует е О такое, что для \t - I <С в единственное региение уравнения Риккати сугцествует па интервале \t - < Доказательство. Суш,ествование следует из предыдущей леммы, если принять = Q. Единственность следует из того факта, что в любом ограниченном подмножестве RX правая часть уравнения Риккати удовлетворяет условию Липшица, и значит, применима теорема единственности решения дифференциального уравнения. О Пример. Рассмотрим уравнение Риккати k (t) = k%t) + 1. Связанная с ним система линейных уравнений является гармоническим осциллятором: /со, имеет
Решение, соответствующее а; (0) = 1, р (0) вид поэтому
K{Uk, 0) = кй cos (- sin t Канонические уравнения. Линейная система 2п уравнений имеет каноническую форму, если существует скалярная функция Н, называемая гамильтонианом, такая, что Н зависит от X, р и U Р(0 = Очевидно, что квадратичные гамильтонианы приводят к линейным уравнениям. Для пары уравнений, приведенных выше, соответствующий им гамильтониан имеет вид Н (X, Р, О = 4 (О (О X (О + Р (О А (t) X (О--~ р(0 В (t). Эти понятия играют центральную роль в классическом вариационном исчислении и в теории принципа максимума Понтрягина.
причем оптимальное управление имеет вид U (t) = - В {t)p it). О В классическом вариационном исчислении условия существования минимума формулируют в терминах отсутствия сопряженных точек и фокальных точек для траектории канонической системы. Напомним, что две точки в моменты времени и называются сопряженными точками, если можно найти нетривиальное решение канонических уравнений такое, что х (i) - х (ti) = 0. Две точки называются фокальными, если можно найти нетривиальное решение канонических уравнений такое, что х (ip) = = Р (i) = О- Существование минимума и отсутствие сопряженных и фокальных точек связано между собой сле-дугошрм образом. Из теоремы 1 § 33 известно, что задача со свободным конечным состоянием без ограничений имеет решение, если соответствующее уравнение Риккати имеет решение h), которое существует в интервале <о i* Можно доказать, что это справедливо тогда и только тогда, когда на отрезке нет фокальных точек, т. е. что условие отсутствия фокальных точек на рассматриваемом интервале времени является необходимым и достаточным условием существования решения уравнения Риккати. Для задачи с фиксированным конечным состоянием достаточным условием существования минимума является условие существования матрицы К (t, Ki, t,) для некоторой симметрической матрицы К. Вопрос о точном выборе Ki оставлен открытым. Можно показать, что выбор такой матрицы начальных условий которая обеспечивает существование решения на 0 tl, возможен тогда и только тогда, когда интервал to t ti не содержит сопряженных точек. Следуюп],ая теорема, приведенная без доказательства, проясняет одну из причин этого обстоятельства. Теорема 2. Пусть х {t)uu {t) оптимальны в смысле теоремы 1 § 33 или теоремы 2 § 34, Тогда существует п-вектор р [t) такой, что х м р [t) удовлетворяют системе 2п канонических уравнений
|