их решение имеет вид

X (t) = А sin t В cos , () = - а; (t).

Рассмотрим задачу с фиксированным конечным состоянием. Видно, что интервал О л не содержит сопряженных точек, поэтому при Г -< л и при граничных условиях х{0) = X (Т) = О г

шш 5 {х (t) 4- х (t)) dt = 0.

и о

Если теперь рассмотреть задачу со свободным конечным состоянием, то х (t) ~ sin tw. х (0) = р (- j = О- Значит,

точки а;(0) и а; -j являются фокальными точками. Интервал же, свободный от фокальных точек, есть О t <С.

До сих пор ие рассматривалось влияние на существование решения той части критерия качества, которая отражает стоимость конечного состояния и имеет вид

Один из наиболее легких качественных результатов дает следующая теорема.

Теорема 3. Есла -- 2 неотрацателъно определена, то для есех t разность К {t, Q, ti) - К {t, Qzi t-i) неотрицательно определена, если обе матрицы К существуют. Поэтому, если решение, проходящее через Q, существует на интервале to t i, то по меньшей мере на том оке интервале сугцествует решение, проходящее через Qi-

Доказательство. Утверждение теоремы является прямым следствием теоремы 1 § 34, которая утвер-

Пример. Рассмотрим задачу минимизации т

где X [t) ~ и (t) и X (0) 0. Канонические уравнения для этой задачи

406 квадрати*1ны0: критерий качества [гл. vii

ждает, что величина к{0)К (Iq, Qi, ti)x (0) является минимумом J. Ясно, что возрастающая цена конечного состояния системы увеличивает общую стоимость. О

Существовавве решении на иолубесконечном внтер-вале> Теперь займемся вопросом существования решения уравнения Риккати на всей полуоси. Как видно из последнего простого примера, нужны нетривиальные предположения, чтобы К (t) не обратилось в бесконечность при конечном значении t. Чтобы исследовать этот вопрос, предположим, что L {t) в дополнение к тому, что она - симметрическая, является еще неотрицательно определенной. Также будем предполагать управляемость системы.

Теорема 4. Предположим, что грамиан управляемости для системы к {t) = А (i)x (t) -\- В {t) (£) - пол-о-жителъно определенная матрица и L (t) = L{t) - неотрицательно определенная матрица при всех t. Если К (t, О, tl) является таким решением уравнения (УР), которое проходит через О при t = ti, тогда при данном t К {t, О, tl) существует на to t ti независимо от to. Более того,

К {to, О, tl) < К {to, О, t) для < 1 < t2 (1)

OK{to,0,t)N{to,ti) для io<i<a. N {to, tl) - [W {to, tl)]- + j xJ (o) L (a) Kl (a) ds,

xt(a) =

Ф (a, to) - [Ф (0, p) В (p) B{p) Ф {to> p) dp [W {to, tl)]- ] xo,

a Ф - переходная матрица для x (i) - Л {t)x (t).

Доказательство. Из теоремы о локальном существовании решения уравнения Риккати мы знаем, что если t - tl - достаточно малое число, то К {t, Q, ti) существует, а из теоремы 1 § 33 имеем

х (О K{t,0, tl) X (О = min f {u (О u (t) + x {t) L (t) x(t)) dt.

{щ (О ui (О + xi (О L (t) xi (0) dt > > шш J {u (0 u (0 + x (t) L (0X(t)) dt = x{to) K{to,0, tz) X(to)

для всех 2 tl. Вычисления показывают, что левая часть этого неравенства равна х (о) (о: ti)x (to). Поскольку матрица Л (ig, ij), очевидно, конечна ири всех ig.

Используя теперь неравенство L {t) > О, имеем в силу суп1;ествования К {t, О, ti), что

К {t, О, О > 0.

Более того, если К {t, О, ti) и К {t, О, (3) суп];ествуют при t tl и tott соответственно, то при х (о) - = Хо и 2 > <1

ХоК (to, О, tl) Хо = min j {u {t) и (t) + x (0 L (t) x (t)) dt <

Поскольку это условие выполнено для любых Xq, оно эквивалентно неравенству (1), устанавливаюп];ему монотонное поведение К (t). Остается показать, что К (t) суп];ествует на интервале to t ti для всех ti.

Так как единственная причина, по которой матрица К {t) могла бы не сугцествовать, состоит в том, что она обрап];ается в бесконечность при конечном значении t, можно доказать суп];ествование, показав, что матрица К ограничена. Рассмотрим управление вида

Г -B{t)0{to, t)[W{to, ti)]-x{t), to<t<:ti,

lO. ii<i.

приложенное к системе в момент to- Как известно из теоремы 2 § 19, это управление приводит х (t) в нуль в момент tif и в силу того, что при t > tl управление - нулевое, нулевое состояние сохраняется для всех t > i. Поэтому для этого управления и соответствующего ему отклика Xi (t) выполнено условие