из = 2, *2 = О ири t = о на круг + = 1 при t = 1 и минимизирует

J={u\t)xl{t)} dt.

2. Доказать теорему 2.

3, Вычислить таиой линейный закон управления для системы

, С=Е,

который минимизирует критерии качества 1

J==(xl (t) + xl (О + а: (i) + 2 ()j

Составить программу для ЦВМ, используя алгоритм, приведенный в теисте.

4. Пользуясь ктерадиониой процедурой решения алгебраического уравнения Риккати, вы:числить стационарный оптимальный закон управлеиия для системы

для критерия качества

J = [Ьх1 + За: + 2x1 + + Юи] dt.

Составить программу для ЦВМ, 5. Показать, что для системы

с критерием качества

, с[1 -1].

Jl[u{t)-\-xl(t)] dt

оптимальный закон управления имеет вид

й[1)~ XI (t) - 2x3 (t) - 2u (i).

6. Решить дифференциальное ураинсние Риккати

л: (О

о 1

р - /2 Г!

[1 0]АГ(0 +

п о-о 1

к (0) = о.

используя решение соответствующего уравнения 4-го порядка (см. лемму).

7. Получить результаты теорем 1, 2, .3, 4 для квадратичного критерия вида

J= \ ]х (О CICx (О + и (О ffu (i) I dt, a

где L Vl R - положительно определенные матрицы.

8. (Shubert Н. A.). Показать, что матрица К = D- \(Р)-А + + L\ где матрицы D ti L определены соотношениями

DD = BR-B, LL = Q + А (ДД)-М,

является единственным положительно определенным решением алгебраического уравнения Риккати

Q -j- АК + КА - KBR-BK - О

в том случае, если R - положительно определенная симметрическая матркца, а матрица В - неособенная.

9. Пользуясь результатом задачи 8, вычислить оптимальную обратную Связь для системы (/) = щ (f), *а (t) = (t) -j- г (t) при следующем критерии качества:

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Многие важные обстоятельства, сопутствующие процессу инженерного проектирования систем управления линейными объектами, пе были учтены в изложенном выше подходе, основанном на методах пространства состояний. При использовании этой теории для решения практических задач читателю необходимо иметь в виду, что принятые выше допущения о стационарности и линейности (а не только линеаризуемости) объекта и законов управления, о точном задании всех параметров системы, об отсутствии ограничений на управляющие воздействия и фазовые переменшле, о бесконечной полосе пропускания усилителей в цепи обратной связи и т. п, редко выполняются на практике одновременно.

Кроме того, в рассмотренных формулировках задач модального и оптимального управления явно не фигурировали требования к важнейшим характеристикам переходного процесса: время регулирования, колебательность, монотонность и др. Вместе с тем известно, что подчас совсем не просто выбрать характеристические числа замкнутой системы или коэффициенты в квадратичном критерии качества так, чтобы переходный процесс удовлетворял бы нужным техническим условиям. Далее, существенное влияние на переходный процесс оказывают нули передаточной функции, а алгоритмы эффективного управления нулями с помощью линейных обратных связей здесь не рассматривались. Наконец, поскольку при изготовлении любой системы ее параметры удается реализовать лишь с конечной точностью, то совершенно необходимо исследовать чувствительность получаемых структур но отношению к колебаниям (причем пе обязательно малым) коэффициентов в цепях обратных связей и в уравнениях объекта. Отсутствие исследования вопросов чувствительности в тексте этой работы вовсе не означает, что таких исследований