Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

линейная алгебра

[гл, i

Прибавим теперь к {r-j- 1)-й строке матрицы Л первые г строк той же матрицы, умноженные соответственно на числа {-Xj), {~х, . . ., {~Хг), удовлетворяющие (1), и обозначим новые элементы через ar+i.jj ссг+1,2т - ч й:г+1,пг Из

(1) следует, что а;+1д = a;+i,2

= 0. Пред-

положим, что не все остальные числа новой (г -f- 1)-й строки равны нулю. Пусть, например, ai,j£ Ф О Для некоторого к г. Согласно пятому свойству определителей {§ 3), имеем

7-+1, к

vi

О а

г+1, к

Раскладывая определитель, стоящий справа, по последней строке, находим

an .

Нт

1

тг

= <-ы, к

0 ..

. 0

= 0.

Полученное соотношение противоречит условию, что ранг матрицы Л равен г. Значит, йт+1,к может быть только нулем. Итак, новая (г + 1)Я строка матрицы целиком состоит из нулей, а это значит, что исходная {г-\-1)-я строка матрицы А есть линейная комбинация первых г строк той же матрицы, Q

Следствие 1. Число линейно независимых строк произвольной матрицы равно числу линейно независимых столбцов этой матрицы и равно рангу матрицы.

Следствие 2. Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то по крайней мере одна из его строк {один из столбцов) является линейной комбинацией остальных строк {столбцов). О

При вычислении ранга матрицы удобно пользоваться так называемыми элементарными преобразованиями матриц.

Определение 5. Элементарными преобразованиями матриц являются следующие преобразования: 1) перестановка столбцов (строк), 2) отбрасывание ненулевого обШего множителя элементов данного столбца (строки),



3) Прибавление к одному столбцу (строке) другого столбца (строки) с произвольным множителем, 4) зачеркивание столбца (строки), состоящего из одних нулей, 5) зачеркивание столбца (строки), являющегося линейной комбинацией других столбцов (строк). Q

В качестве простого упражнения предлагаем читателю доказать

Предложение 6. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. О

Напомним, что приведенный в предыдущем разделе алгоритм Гаусса использует лишь элементарные нреобразования матрицы, и поэтому его можно применять для Вычисления ранга матрицы и для нахождения ее базисно го минора.

Теорема Кронекера - Капелли. Займемся изучением структуры решений систем линейных уравнений.

Систему линейных уравнений Лх = Ь, где Л - матрица размеров (п Хт), назовем совместной, еслв. оя?1 имеет хотя бы одно решение, и несовместной в противном случае.

Заметим, что сама запись системы есть не что иное, как запись того факта, что столбец правых частей Ь = [Ь,

. . 6 1 системы есть линейная комбинация столбцов матрицы той же системы, взятых соответственно с коэффициентами Xi, ху . . ., Хуц. Поэтому для того, чтобы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы столбец правых частей был линейной комбинацией столбцов матрицы А системы. Матрица

ран f>i п

ж= .......

. 1 nm h

называется расширенной матрицей системы Аи = Ь.

Наноминм, что в случае системы из п уравнений с п неизвестными, когда определитель матрицы системы отличен от нуля, система имеет единственное решение, которое вычисляется но формуле х = А~Ь, или, если подробно выписать формулы для всех компонентов вектора х, в виде

=dit = 1>2,..., , (2)

где через обозначен детерминант матрицы, получаемый



Tl, 1 T+l, г К+Л

Возможны два случая; либо в первых г столбцах этого минора не содержится ни одного базисного минора матрицы А, либо содержится хотя бы один базисный минор. В первом случае, раз.чожив минор по элементам последнего столбца, убедимся в том, что он равен нулю, так как все алгебраические дополнения элементов последнего столб-ца будут нулями. Во втором случае первые г столбцов матрицы А являются базисными, и по теореме i все ос--

ИЗ матрицы л заменой г-го столбца столбцом свободных членов Ь. Формулы (2) пазивают2формулами Крамера, ИЛИ правиломКрамера.

Перейдем к исследованию общего случая. Основным результатом является

Теорема 2 (Кронекера - Канел-ии). Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы равнялся рангу матрицы системы.

Достаточность. Пусть ранг матрицы А равен рангу матрицы А. Выберем в матрице А любой базисный минор. Согласие условию теоремы минор будет базисным и для матрицы А. Но тогда столбец правых частей есть линейная комбинация базисных сто.чбцов матрицы А. Следовательно, он будет линейной комбинацией всех столбцов матрицы Л, т. е. система совместна.

Необходимость. Пусть система совместна. Предположим, что ранг матрицы А равен г. Ясно, что ранг матрицы А не может быть меньше г. Докажем, что он равен г. Для этого достаточно показать, что все миноры порядка г -f 1 матрицы А равны нулю, так как в этом случае будут равны нулю и все миноры большего порядка. Выберем в матрице А произвольный минор порядка г 4--f 1. Если он не содержит столбца правых частей системы, то этот минор равен нулю, в силу того, что ранг матрицы А равен г. Предположим, что выбранный минор содержит элементы столбца матрицы правых частей. Не ограничивая общности можно считать, что этот минор таков:



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [ 14 ] 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139