тальные столбцы матрицы Л есть линейные комбинации базисных столбцов. Кроме того, условие совместности системы означает, что последний столбец расширенной матрицы Л есть линейная комбинация столбцов матрицы А, и поэтому он есть линейная комбинация лишь первых г ее столбцов. Отсюда вытекает, что последний столбец минора Аг+1 есть линейная комбинация остальных его столбцов, и на основании пятого свойства определителя мы заключаем, что сам минор равен нулю. Q

Система линейных алгебраических уравнений называется одтродтй, если все элементы правых частей равны нулю. Система, не являющаяся однородной, называется неоднородной.

Однородная система всегда совместна, так как она заведомо имеет решение а; = = . , . = х = О, Это решение называется тривиальным. Ранг матрицы лю-бол системы не может быть по определению больше, чем число неизвестных, поэтому, учитывая теорему Кронекера- Капелли, легко установить справедливость следующих утверждений.

Предложение 7. Для того чтобы система линейных уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен числу неизвестных.

Предложение 8. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточ-но, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. О

Сумма любого решения системы Ах = b с любым решением однородной системы Аи = О снова будет решением системы Дх = Ь. Действительно, пусть Дх = Ь и Ах = 0. Тогда А (х 4- Xj) = As -j- Дх = Ь + О = Ь. Докажем теперь обратное утверждение. Каково бы ни было решение х системы Дх = Ь, оно всегда представимо в виде X = X -- X(j, где х - частное решение системы Дх = = Ь, а Xq -решение однородной системы. Пусть х - решение Дх ~ Ь. Вычтем из этого уравнения уравнение Дх = Ь. Тогда получим Д (х - х) = 0. Это равенство означает, что X - X является решением однородной системы. Обозначим это решение через х . Тогда х - х = х откуда X = Хо -- X. Обидев решение - это символ (формула), содержащий все решения системы. Мы доказали следующее

Предложение 9. Общее решение совместной системы уравнений Ах = b имеет вид х = х 4- Хд, где х - некоторое частное решение этой системы, а х - общее решение соответствующей однородной системы Ах ~ 0.

Фундаментальная система решений. Найдем общее решение однородной системы Ах = 0.

Рассмотрим матрицу А коэффициентов однородной системы Ах = О, Пусть ее ранг равен г, а базисный минор расположен в верхнем левом углу. Заметим, что последние т - г уравнений можно отбросить, так как они являются линейными комбинациями первых г уравнений. Запишем эти г уравнений в виде

11% ~Ь - irr = - 1, г+1r+l - ... - Хглт. иХ . .. -\~ йзг-г - 2, r+l-r+i - ... - UimPOjn,

Unl + . . . Ь Urrr = йг, r+ir+i ... frmm

Поло-жим сперва = = = = 0.

Тогда систему можно решить по правилу Крамера и получить столбец решений х> = \ , . . 1, О, О, . . . . . ., 0}. Далее положим Хгх г+з ~ -г+з = -. . . = = , и, решив полученную систему, найдем единственное решение х(2) = {х, х\ . . ., xf\ О, 1, О, . . ., 0}. Продолжая вычисления, получим [т - г)-е решение

х --> {хГ~\ хТ-\ ..хГ-\ о, о,..., 1).

Покажем теперь, что всякое решение однородной системы может быть получено в виде линейной комбинации вычисленных решений хЧ), . . ., xt * . В самом деле, пусть

с = {С\, Сд, . Cj., Cr+i, . . , Cjf

- какое-либо решение системы Ах = 0. Покажем, что оно представимо в виде с = Ях 4- + m-r x -\ Для этого рассмотрим некоторое вспомогательное решение X* = с - Cr+xt) - Сг+2Х<> - ... - сх( ->. х* является решением системы Ах - О, поскольку это линейная комбинация решений этой системы. Заметим да-

S 4 ] РАНГ МАТРИЩ>1 53

лее, что X* имеет вид х* = {1 , х , . . , О, О, . . ., 0).

Докажем, что и первые г компонент решения х* тоже суть нули. Для этой цели подставцм решение х* в систему Ах = 0. В результате получим

ИП + . . . + %г.Гг - О,

Эти тождества могут удовлетворяться только пулевым набором, ибо детерминант соответствующей системы - не нуль и ее решение единственно. Итак, все компоненты X* суть нули. Значит,

с = c,ix(i) -Ь ... -Ь схС -),

что и утверждалось. О

Заметим, что полученные при доказательстве теоремы решения (их число т - г) линейно независимы. Эта система решений называется нормальной фундаментальной системой решений.

Вообще всякая конечная совокупность решений системы Ах = О такая, что, во-первых, всякое решение системы выражается в виде линейной комбинации элементов этой совокупности и, во-вторых, никакое из решений построенной совокупности не является линейной комбинацией остальных решений этой совокупности, называется фундаментальной системой решений.

Таким образом, общее решение линейной системы Ах = b выражается формулой

X - X + cix(i) -Ь ... + c rxf --\

где X - некоторое частное решение неоднородной системы, а xW, . . ., xt - > - фундаментальная система решений однородной системы. Наиболее простой вид имеет нормальная фундаментальная система решений.

О численном решении линейных систем. Красота и стройность теории линейных уравнений обманчива. Вычисление решений за приемлемое время, при ограниченной точности задания чисел в машине и при конечной точности вычислений, связано со значительными трудностями. Обратимся к примерам.