54 лине1Шая алгебра [гл. i

1. Если для решения уравнения Лх = b воспользоваться правилом Крамера, а определитель Л \ вычислять как сумму п] произведений, каждое но п сомножителей, то нетрудно подсчитать, что при скорости 10 умножений в секунду для решения системы 16-го порядка потребуется более 8 лет. Если для решения этой системы использовать алгоритм Гаусса, который требует порядка умножений, то при той же скорости вычислений решение будет получено за время, меньшее 0,1 сек.

2. Определитель матрицы

О 1 О ... О

О О 1 ... О

о о о ... 1

2- О О ... О

равен 2~, и потому решение уравнения Ах = Ь существует и единственно при любом N. В то же время при достаточно большом число будет воспринято машиной как нуль, и система уже не имеет ни одного решения при Ъ Ф 0. Таким образом, малые изменения коэффициентов системы могт приводить к потере всех решений. 3, Решим систему [43]

0,000bi + a., = 1,

% -Ь - 2,

используя алгоритм Гаусса и выполняя арифметические операции на машине с плавающей запятой с тремя десятичными знаками. Если взять на первом шаге в качестве ненулевого элемента 1-й строки коэффициент при aj, то получим

0,0001a:i-Ь = 1.

10000:1 = -10000, откуда x = i, xi = 0.

Если в качестве ненулевого элемента 1-й строки взять на первом шаге коэффициент при х, то имеем *

Ж1 Лг = 2,

жз = 1, откуда 2 = 1, Ж1=1.

Точное решение, округленное до указанных десятичных цифр; х-х = 1,00010, = 0,99990.

Приведенные примеры иллюстрируют некоторые трудности, связанные с практическим вычислением решений линейных уравнений. Эти трудности возрастают с ростом порядка решаемой системы. На практике решают линейные системы с 1000 и более неизвестных.

Задачи. 1. Вычислите ранг матриц

2. Выпишите нормальную фундаментальную систему решений для Систем уравнений:

xi--xi-- xi = о,

x2-\-xs = о.

xi - хч-\-х$ - жб = о,

xi-{- xb = i.

3. При каком условии три прямые а-х -1- Ьу -\- = О, ах -\- Ъу 1- = О, ОдЖ Ьу -J- = О проходят через одну точку?

4. Докажите, что с помо1цью элементарных преобразований строк квадратную матрицу можно привести к треугольному виду, когда все ее элементы снизу от главной диагонали равны нулю.

§ 5. Характеристический и минимальный многочлены матрицы

Будем рассматривать квадратные матрицы порядка п с элементами из некоторого поля К,

Подобные матрицы. Матрица А называется подобной матрице В, если сугцествует такая неособенная матрица X, что А = Х~ВХ. В этом случае такне говорят, что А получается преобразованием матрицы В при помощи X. Умножая это равенство слева яа X я справа на Х~, получим

В = ХАХ-- = {Х-)-ЫХ~-.

Таким образом, из подобия А с В вытекает подобие В с А. Далее, если

А = Х-ВХ, В = Y-CY,

то цодстаповкой получим

А = X-Y-CYX = {УХу-С {YX).

Следовательно, две матрицы, подобные третьей, подобны между собой. Наконец, каждая матрица, очевидно, подобна самой себе.

Укажем некоторые свойства подобных матриц.

1. Для того чтобы преобразовать с помощью матрицы X сумму матриц, достаточно преобразовать с помощью X каждое слагаемое. В самом деле,

Х~ (Д, --Л, I- . . . + Л,)Х =

- Х-ЫХ + Х-АХ I . . . + Х--АХ.

2. Для того чтобы преобразовать с помощью матрицы X произведение матрит(, достаточно преобразовать с помощью X каждый сомножитель. Действительно,

Х-ЫХХ-ЫХ . . . X-i,X = Х- {АА . . А},) X.

3. Для того чтобы преобразовать степень матрицы, достаточно преобразовать основание степени

Х-АХ = {Х--АХТ;

при m о имеем предыдущий случай. Если же m <;0, то пусть к = -т. Тогда

Х-АХ = X {А-)Х = {X-A--Xf = {Х-АХ)-> =

= (Х-ЫХ) .

4. Преобразованное значение многочлена от матрицы равно значению многочлена от преобразованной матрицы, иными словами

X~f(A)X f(X~AX).

Эта формула непосредственно вытекает из свойств 1-3, так как значение многочлена от А получается из Д с помощью операций возведения в степень, умножения на число и сложения.

Характеристический многочлен матрицы. Матрица [ХЕ - Л], где к - независимая переменная, называется характеристической матрицей для А. Ее определитель

ц,{Х) = \кЕ - А\ (ХМ)

называется характеристическим многочленом матрицы А. Наивысшую степень относительно X в этом многочлене будет иметь произведение диагональных элементов

{X - а-и){Х - agg) ... (Я - ff ).