Все остальные, входящие в состав определителя произведения имеют степень не выше (?г - 2). Это следует из того, что если один из сомножителей этого произведения будет - ttjj {i Ф j), то это произведение не будет содержать множителями {X - ац), {X - aj) и будет, следовательно, степени не более {п - 2). Таким образом, ф {X) = {X - - л) ... {X - о-пп) + члены степени не выше {п - 2) или ф {X) = X - (ац + + + апп) + - -Сумма диагональных элементов матрицы называется ее следом:

след А = Sp Д = (ац + + + <пп)-

Последняя формула для ф {X) показывает, что степень характеристического многочлена равна порядку матрицы, старший коэффициент характеристического многочлена равен 1, а коэффшщент при КР равен следу матрицы, взятому с обратным знаком. Полагая в формуле (XM)?l = О, мы получим

ф(0)=-Д1 = (-1)-Д.

ф (0) - свободный член характеристического многочлена. Оп равен определителю матрицы, умноженному на (-1) , где п - порядок матрицы.

Теорема 1. Характеристические многочлены подобных матриц ровни друг другу.

Доказательство. Пусть

А = X-WX.

Тогда для характеристического многочлена матрицы А получим

\ХЕ - А\ = \ХЕ - Х-БХ I - I Х- [ХЕ - В)Х \ =

= \Х\\ХЕ - В\\Х\.

Прн последнем преобразовании мы воспользовались теоремой о детерминанте произведения квадратных матриц. Определители Х~ \ ц \ X \ взаимно обратны и их произведение равно единице. Поэтому

\ХЕ ~ В\ = \ХЕ ~ А\. О

Из этой теоремы, в частности, вытекает, что подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, так

как след и определитель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.

Равенство характеристических многочленов - необходимое, но, вообще, говоря, не достаточное условие подобия матриц. Например, характеристические многочлены матриц

равны, однако А не может быть подобна Е, так как для любой матрицы X имеем Х~ЕХ = Е.

Корни характеристического многочлена называются характеристическими числами, или собственными значениями, или собственными числами матрицы А.

Иэ следствия на стр. 38 следует

Предложение 1. Характеристические многочлены распавшейся и полу рас пившейся матриц равны произведению характеристических многочленов их диагональных клеток. Q

Если полураспавшаяся матрица А состоит из клеток степени 1, то А называют треугольной матрицей. Собственные значения треугольной матрицы очевидно равны ее диагональным элементам.

Теорема Кэли - Гамильтона. В § 2 мы любому мно-гочлепу ф {к) ставили в соответствие матрицу (р {А), названную значением многочлена (р {%) при X = А. Если ф {А) = О, говорят, что А есть корень ф {X).

Теорема 2 (Кэли - Гамильтона). Каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

I Доказательство. Пусть А - квадратиан матрица. Обозначим через В присоединенную матрицу для характеристической матрицы [ХЕ - А] (см. определение присоединенной матрицы в § 3).

Элементы матрицы В обозначим через i, {i, j = 1, 2, . . п). Эти элементы являются адъюнктами определителя [ ХЕ - Д 1 и поэтому представляют собой многочлены от X, степень которых не превосходит [п - 1), Пусть

Составим вспомогательные числовые матрнцы

Тогда матрицу В можно будет, очевидно, представить в следующем виде:

В - Б + XSi + ... + r-S-i\ По основному свойству присоединенных матриц

Б {ХЕ ~ Л) = \ХЕ - Л\ К. (1)

Здесь \ ХЕ - Д I - характеристический многочлсп матрицы А, который мы обозначим ф (Я.). Пусть

ф = - а?. I- ... - ап 1Г-1 + Г. Теперь равенство (1) мо;кпо переписать более подробно:

+ ХБ- -г ... + rS i) (Х£ - -4) -

Раскрывая скобки и приравнивая коэффициенты при равных степенях X, получим

- В-А + В- = агЕ, -ВА +Б> =:аЕ,

= Е.

Е = до, последнее -

Умножим эти равенства справа первое второе - на Д, третье - на Д и т. д., на Д 1, п правые и левые части этих равенств сложим. Справа мы получим ф (Д), а слева - нулевую матрицу. Значит,

0=>о + И + аА + . . . + A (Д). О

Минимальный многочлен. Среди всевозможных ненулевых многочленов / {X), корнем которых является матрица А, есть ненулевой многочлен наинизшей степени