со старшим коэффициентом, равным 1. Он называется минимальным многочленом матрицы.

Предложение 2. Каждая матрица Л имеет то.фъко один минимальный многочлен.

Доказательство. Если бы существовало два различных минимальных многочлена 44 и тЬ (?), тогда разность (к) - ifa Щ была бы ненулевым многочленом, корнем которого является матрица Л, а степень этого многочлена меньше, чем степень (к) И Фз {к). О

Предложение 3, Всякий многочлен / (Я), корнем которого является матрица А, делится без остатка на минимальный многочлен (к) этой матрицы.

Доказательство. Пусть верно обратное, т. е.

f{k) = {k)q (к) -г г (к)

и г (к) Ф 0. Подставим в это тождество матрицу А:

/ (Д) = О - {А)д (А) Ч- г (А),

так как it {А) = О, то г (А) ~ О, но степень г (А) меньше степени делителя tj) (А). Таким образом, г {А) - ненулевой многочлен, корнем которого является матрица А и степень которого меньше степени минимального многочлена. Это противоречит определению минимального многочлена. О

Следствие. Afанимальный многочлен матрицы является делителем ее характеристического многочлена. О Сопровождающая матрица многочлена. Матрица

0 1 О ... О

0 0 1 ... о

- а.

- Я1

обладает замечательным свойством. Ее характеристический многочлен совпадает с нормированным (с коэффициентом 1 при старшем члене) многочленом -го порядка, коэффициенты которого расположены в нижней строке этой матрицы с обратными знаками. Таким образом,

ф (X) = Г + 1- -h . - . + + а = I Лй - А [ .

Убедимся в справедливости этого равенства. Для этого удобнее всего раскрыть определитель \ кЕ - А \ по эле-

ментам последней строки согласно свойству 8 оаределн-теля:

Я -1 О ... о о

о X -1 ... о о

0 0 о .

ln n-l n-s

-2l / л \п+2

Я - 1

... -f a, , , (- If--)C +);-i + ... + + ai) Г

4- aiX 4- ... + 4- 0 = cp {X).

По заданному нормированному многочлену сопровождающая матрица строится крайне просто. В ее нижней строке располагаются п коэффициентов характеристического многочлена, элементы, расположенные справа от диагональных, равны единице, а остальные элементы матрицы - нули. Эта матрица и ее транспонированная матрица будут играть важную роль в дальнейшем.

Задачи. 1. Показать, что если в прямой сумме переставить слагаемые, то новая сумма будет матрицей, подобной старой су*гае.

2. Вычислить характеристические многочлены и собственные значения матриц

2 4 ОТ Га 6 с

0 3 2 , О О О О 1 J \ 0 О е

След (Л 4- fi)

3 5 2 1

3. Доказать, что след {АВ) - след [ВА] след А 4* след fi.

4. Показать, что характеристический многочлен матригда АВ совпадает с характеристическим многочленом матрицы В А.

5. Доказать, что любая квадратная матрица А подобна своей транспонированной А.

6. Найдите ошибку в рассуждении. Так как (f {X) = \ ХЕ - А \, то (А) ~ \ А Е - Л = [О] = 0, и следовательно, справедлива теорема Кзлн - Гамильтона.

§ 6. Линейные векторные пространства

Линейное йространство и модуль. Для прямоугольных матриц одинакового размера определены алгебраическая операция сложения и операция умножения на числа (элементы некоторого кольца или поля), которая не является алгебраической. Изучение строения таких множеств име--ет важное значение для всех дальнейших построений.

Определение 1. Пусть дана некоторая совокупность R элементов произвольной природы х, у, z, . . Е которой задана алгебраическая операция сложения . Пусть, далее, задано некоторое поле К и определена операция умножения элементов из R на элементы поля К, которые мы будем называть числами. Умножение всегда выполнимо и однозначно для любых элементов х, у, Z из R и лжубых чисел а, р, у из К. Совокупность элементов R будем называть линейным векторным пространством над полем К, если операции сложения и умножения элемента из R на число из К удовлетворяют следующим требованиям (аксиомам, постулатам):

1. X -I- у = у -}- я.

2. (x4-y)4-z=x + (y + z).

3. Если у, Z - элементы R, то уравнение у -f х = z разрешимо в R.

4. 1 X = X.

5. а(рх) = (яЗ)х.

6. (я -}- ;3) X = ах -4- х.

7. a(x-i-y)-=ax + ay.

Элементы: множества R мы будем называть векторами. ©

Определение 2. Если в определении 1 линейного пространства поле К заменить кольцом К с единицей, то получим определение модуля над кольцом К. 0

Поскольку всякое поде является кольцом, то всякое линейное пространство является модулем. Обратное, вообще говоря, не верно. Модуль может и не обладать свойствами линейного пространства.

Первые три аксиомы линейного пространства совпадают с первыми тремя аксиомами в определении кольца. Поэтому доказательство существования в линейном пространстве единственного нулевого элемента и единственного э.1емента, противоположного заданному, в точности совпадает с приведенным в § 1 доказательством ана.чогич-ных утверждений для кольца. Будем обозначать нулевой элемент линейного пространства числом О, т. е. точно так же, как и нулевой элемент поля К, участвующего в определении линейного пространства. По смыслу формул всегда будет ясно, какой нуль имеется в виду.

Линейное пространство над полем веп];ественных чи-се.ч принято называть еещестееппым линейным прострап ством и обозначать буквой R. Линейное пространство