Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

над полем комплексных чисел называют комплексным и обозначают буквой С.

Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, как правило, греческими.

Сумму векторов х и (-у) обозначают х - у и называют разностью векторов хну.

Легко видеть, что для любого вектора х выполнено равенство Ох = 0. В самом деле,

Ох - Ох + X - X = (1 + 0) X - X = 0.

Отметим также, что произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку

а . О = сх (х - х) - ах - ях = 0.

Если ах = О, то либо а = О, либо х = 0. Действительно, пусть а Ф 0. Тогда можно умножить данное равенство на и получить 1-х - 0.

Выражение вида ajX -f ах -f- . . . + а,гХ называют линейной комбинацией векторов Xj, Х2, . . ., с коэффициентами 1, 2 -> оп-

Приведем несколько примеров линейных пространств.

1. Множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения будет вещественным векторным пространством. В этом примере векторы пространства и элементы ноля принадлежат одному н тому же множеству (и ге н другие - просто вещественные числа).

2. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента. Такое пространство называется нулевым. Единственный элемент является нулем этого пространства и противоположным самому себе элементом.

3. Множество многочленов от X степени п над некоторым полем К с установленными в нем обычными операциями сложения многочленов и у.множения многочлена на число образует, как нетрудно проверить, линейное пространство над полем К.

4. Совокупность направленных отрезков (векторов) на плоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения их на числа является векторным пространством.

5. Совокупность бесконечных последовательностей (-1 3, . . .у . - .), в которой операции определены



естественным образом:

{Xi, X2, - . . .) Ч {Уи Уз Уп )

как нетрудно проверить, представляет собой линейное пространство.

Линейная зависимость. По аналогии с соответствующими определениями для строк и столбцов матрицы определим линейно независимую и линейно зависимую системы векторов в линейном пространстве.

Определение 3. Векторы х, х, . . ., х из линейного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа из ноля К а, а, . . ., а , не равные нулю одновременно, что

aixi + ОзХа -h . -. -Ь О-В случае, если не существует подобной линейной зависимости, векторы Xi, Хз, . . х называются линейно независимыми.

Если векторы х х, . . ., х,. линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Так, например, если aXi -\--\- зХа -f- . . . -f а х = О и 1 =?t О, то

Относительно линейно зависимых и линейно независимых систем векторов справедливы те же положения, которые были доказаны для систем линейно независимых строк и столбцов в § 4.

Приведем формулировки соответствующих утверждений. Предлагаем читателю в качестве упражнения получить доказательства этих утверждений.

Предложение 1. Система из п i векторов линейно зависима тоада и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

Предложение 2. Если в систему входит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Предложение 3. Если некоторые из векторов, входящих в систему, сами по себе образуют линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.



Предложение -4 Каждая подсистема линейно независимой системы сама линейно /-/езависима.

Размерность и базис. Введем теперь важные определения размерности и базиса линейного пространства.

Определение 4. Линейное пространство R называется конечномерным, а число п - числом измерений этого пространства, или его размерностью (пишут dim R -- п), если в R существует п линейно независимых векторов, в то время как любые п -I- 1 векторов из R линейно зависимы. Если ;ке в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным. О

Мы будем иметь дело главным образом с конечномерными пространствамп.

Определение 5. Система из п линейно независимых заданных в определенном порядке векторов е,

-i и-мерпом пространстве называется базисом этого пространства. Q

Из этого опреде.тгения следует, что из одной и той же системы векторов можно получить разные базисы, по-разному нумеруя векторы.

Пусть векторы е, е, . . ., е образуют базис 7?-мер-ного векторного пространства R, а х - произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы х, е. е, . -. . ., е линейно зависимы (ибо число их равно ?г + 1)

Яцх + aiei -Ь ... + осе = О,

где по крайней мере одпо из чисел ( а, отлично

от нуля. Однако в данном случае 0> так как векторы

©1, Cg, . . ек не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому

X --- Жхв! -}- жеа + - - +

где --(/ = 1,2,.. п) (Xi ~ числа!).

Заметим, что числа Xj, a;, . . ., х- однозначно определяются заданием вектора х и базиса -i п- В самом деле, если имеется другое разложение для вектора

X = pjCi Ч- РаСа -h ... 4- пе ,

то, вычитая это разложение почленно из предыдущего, получим

{хг - \) ei + (2 - li)e + ... 4- (жп - Рп)е = О,

3 Ю Н Лидреев



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139