Главная
>
Управление конечномерными объектами над полем комплексных чисел называют комплексным и обозначают буквой С. Мы будем обозначать векторы строчными латинскими буквами, а числа, как правило, греческими. Сумму векторов х и (-у) обозначают х - у и называют разностью векторов хну. Легко видеть, что для любого вектора х выполнено равенство Ох = 0. В самом деле, Ох - Ох + X - X = (1 + 0) X - X = 0. Отметим также, что произведение любого числа на нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку а . О = сх (х - х) - ах - ях = 0. Если ах = О, то либо а = О, либо х = 0. Действительно, пусть а Ф 0. Тогда можно умножить данное равенство на и получить 1-х - 0. Выражение вида ajX -f ах -f- . . . + а,гХ называют линейной комбинацией векторов Xj, Х2, . . ., с коэффициентами 1, 2 -> оп- Приведем несколько примеров линейных пространств. 1. Множество вещественных чисел по отношению к обычным операциям сложения и умножения будет вещественным векторным пространством. В этом примере векторы пространства и элементы ноля принадлежат одному н тому же множеству (и ге н другие - просто вещественные числа). 2. Существует линейное пространство, состоящее из одного элемента. Такое пространство называется нулевым. Единственный элемент является нулем этого пространства и противоположным самому себе элементом. 3. Множество многочленов от X степени п над некоторым полем К с установленными в нем обычными операциями сложения многочленов и у.множения многочлена на число образует, как нетрудно проверить, линейное пространство над полем К. 4. Совокупность направленных отрезков (векторов) на плоскости с обычными операциями сложения векторов и умножения их на числа является векторным пространством. 5. Совокупность бесконечных последовательностей (-1 3, . . .у . - .), в которой операции определены естественным образом: {Xi, X2, - . . .) Ч {Уи Уз Уп ) как нетрудно проверить, представляет собой линейное пространство. Линейная зависимость. По аналогии с соответствующими определениями для строк и столбцов матрицы определим линейно независимую и линейно зависимую системы векторов в линейном пространстве. Определение 3. Векторы х, х, . . ., х из линейного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа из ноля К а, а, . . ., а , не равные нулю одновременно, что aixi + ОзХа -h . -. -Ь О-В случае, если не существует подобной линейной зависимости, векторы Xi, Хз, . . х называются линейно независимыми. Если векторы х х, . . ., х,. линейно зависимы, то один из векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных. Так, например, если aXi -\--\- зХа -f- . . . -f а х = О и 1 =?t О, то Относительно линейно зависимых и линейно независимых систем векторов справедливы те же положения, которые были доказаны для систем линейно независимых строк и столбцов в § 4. Приведем формулировки соответствующих утверждений. Предлагаем читателю в качестве упражнения получить доказательства этих утверждений. Предложение 1. Система из п i векторов линейно зависима тоада и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных. Предложение 2. Если в систему входит нулевой вектор, то она линейно зависима. Предложение 3. Если некоторые из векторов, входящих в систему, сами по себе образуют линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Предложение -4 Каждая подсистема линейно независимой системы сама линейно /-/езависима. Размерность и базис. Введем теперь важные определения размерности и базиса линейного пространства. Определение 4. Линейное пространство R называется конечномерным, а число п - числом измерений этого пространства, или его размерностью (пишут dim R -- п), если в R существует п линейно независимых векторов, в то время как любые п -I- 1 векторов из R линейно зависимы. Если ;ке в пространстве можно найти линейно независимую систему из любого числа векторов, то пространство называется бесконечномерным. О Мы будем иметь дело главным образом с конечномерными пространствамп. Определение 5. Система из п линейно независимых заданных в определенном порядке векторов е, -i и-мерпом пространстве называется базисом этого пространства. Q Из этого опреде.тгения следует, что из одной и той же системы векторов можно получить разные базисы, по-разному нумеруя векторы. Пусть векторы е, е, . . ., е образуют базис 7?-мер-ного векторного пространства R, а х - произвольный вектор этого пространства. Тогда векторы х, е. е, . -. . ., е линейно зависимы (ибо число их равно ?г + 1) Яцх + aiei -Ь ... + осе = О, где по крайней мере одпо из чисел ( а, отлично от нуля. Однако в данном случае 0> так как векторы ©1, Cg, . . ек не могут быть связаны линейной зависимостью. Поэтому X --- Жхв! -}- жеа + - - + где --(/ = 1,2,.. п) (Xi ~ числа!). Заметим, что числа Xj, a;, . . ., х- однозначно определяются заданием вектора х и базиса -i п- В самом деле, если имеется другое разложение для вектора X = pjCi Ч- РаСа -h ... 4- пе , то, вычитая это разложение почленно из предыдущего, получим {хг - \) ei + (2 - li)e + ... 4- (жп - Рп)е = О, 3 Ю Н Лидреев
|