6G ЛПНЕЙНАЯ АЛГЕБРА [ГЛ. I

откуда в силу линейной независимости векторов базиса следует

(1 Pi) = (.2 - = . = - М -- О,

т. е.

1 Pi) 12 ?г Рп-

Числа х, . . ., х называются координатами вектора

X в базисе е, ео, . . (или но базису е, .....е).

Если

i 1 1=1

Т. е. координаты суммы векторов получаются почленным сложением соответствующих координат слагаемых векторов, а при умножении вектора на число а все координаты вектора умножаются на это число.

Таким образом, основное значение базиса линейного пространства состоит в том, что линейные операции в пространстве, вначале заданные абстрактно, становятся обычными линейными операциями с числами - координатами векторов относительно выбранного базиса.

Пусть т векторов n-мерного пространства

Xft = S ib-i (/г - 1, 2, ..., т)

линейно зависимы, т. е. ах -\- ах -]-...-{- ах = О, где по крайней мере одно из чисел а, а. . . ., aj не равно нулю.

Если вектор равен нулю, то все его координаты равны нулю. Поэтому приведенное векторное равенство эквивалентно следующей системе скалярных равенств;

1%! + Ctala + ... + Vim = О,

Я1Ж21 -[- а2.тз2 + ...-}- аХ2,т = О,

г рп Р12 ... /jji Р21 р-12 ...

Столбцы матрицы - это координатные столбцы векторов 2, ч 71 по базису е, е, . - -, е. Поэтому столбцы матрицы Р - линейно независимые и det Р Ф 0.

Определение 6. Матрицу, г-й столбец которой есть координатный столбец вектора по базису ej, 62, . . . . . ., On. назовем матриией перехода от базиса Вц е, . . . . . ., е к базису fj, L, . . ., О

Равенство (1) можно переписать в матричных обозначениях

i = eP.

Эта система однородных уравнений относительно а, - . . У-т- согласно теореме Кронекера - Канелли (см. § 4), имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов меньше числа неизвестных, т. е. меньше тп. Поэтому равенство этого ранга числу т является необходимым и досааточным условием для линейной независимости векторов х. Xg, . ., х. Таким образом, имеет место с.тедугощая

Теорема 1. Для того чтобы векторы Xj, х., . . . . . ., х были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ране матрицы, составленной из координат этих векторов в прондволъпом базисе, был равен числу векторов т. О

Замена базиса. Если в п-мерном пространстве даны два базиса 63, . . ., е,( и fj. I, . . ., i-n то можно разложить каждый вектор базиса Ij, [3, . . ., 1 по базису Oi, е., . . .

. , .,

f.- S Vh> (il,2, (1)

Координаты можно записать в виде квадратной матрицы порядка п

Умножая обе части этого равенства на матрицу Р справа, мы получим

е = fP Ч

Отсюда следует, что Р будет матрпцей перехода от базиса и, . . in к базису ej, . . -, е.

Предложение 5. Пусть :шдан базис е, е. . . . . . ., е. Каждая матрица Р с дет,ерминантом. не равным нулю, служит матрицей перехода от базиса ej, 63, . . ., е к некоторому базису fj, i, . . ., fn-

Действительно, если det Р 7 О, столбцы матрицы Р линейно независимы. Они служат координатными столбцами п линейно независимых векторов, которые и составляют нужный нам базис. ©

Вычислим, как связаШ)! между собой компоненты одного и того же вектора в двух базисах ej, . . ., е; i, . . п-Рассмотрим вектор х и обозначим через аир его координатные столбцы в базисах е и f. Это означает, в частности, что X = fp. Подставим сюда выражение f через е и матрицу перехода Р от базиса е к базису f. Мы получим х = = еРр. Но, с другой стороны, х еа. Сравнивая два последних выражения, в силу единственности координатного столбца имеем

а pp.

Подробнее эта формула может быть переписана в виде

Линейные подпространства. Из геометрии известно, что вектор, равный сумме любого числа векторов, лежащих в одной и той же плоскости, принадлежит этой плоскости. В произвольном линейном пространстве роль множеств, обладающих свойствами, подобными указанному свойству плоскости, играют линейные подпространства.

Определение 7. Непустое подмножество линейного пространства называется подпространством, если оно само образует линейное пространство по отноше-