ПИЮ к 01[ределениым в И операциям cj[o;i;emiH и умножения на число. О

Иначе говоря, Ri С R есть подпространство, если из X е Ri, У Ri следует, что ах + ЕЕ Ri при любых гх и р.

Во всяком линейном пространстве R имеется подпространство, состоящее из одного нуля,- нулевое подпространство. С другой стороны, все R можно рассматривать как свое подпространство.

Пусть дано некоторое множество М ве1;лоров в линейном пространстве R. Обозначим через Rj совокупность всевозможных линейных комбинаций, каждая из которых составлена из конечного числа векторов, принадлежащих М. Нетрудно проверить, что множество Rj является подпространством в R. Так построенное подпространство называется линейной оболочкой множества М.

Предложение 6. Каждое подпространство пространства ¥.онечной размерности является линейной оболочкой конечного числа векторов. Q

Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.

Рассмотрим два подпространства Rj и R одного линейного пространства R.

Определение 8. Суммой подпространств R и Ra назовем множество всех векторов, которые можно представить в виде Xj + Х2, где Xj и Xg принадлежат соответственно подпространствам Rj и R2. Обозначение суммы: Ri -h Ra-O

Сумма подпространств является подпространством. Действительно, если у и х ленчат в R -f- R2, то существуют Гекторы Xi и Ух в Ri и векторы Xg и у2 в R. такие, что X = Xi -h Хз, у - ух -i- У2. Отсюда имеем

X -h у = (xi -h yi) -h (Ха -h Уа),

и при любом а, кроме того, ах - ах -f axj. Поскольку i + У1 и axj находятся в Rj, а + Уа и аха находятся в Rg, мы видим, что X -г у и ах прннадленгат сумме Ri R..

Сумму подпространств можно определить и как линейную оболочку мнон;ества всех векторов, которые принадлежат хотя бы одному из суммируемых подпро-, стравств.

ипоэюму X лен.ит и в Rj. Таким образом, вектор х дол;кен находиться в пересечении Rj f] Отсюда можно заклй!-чить, что ... - = О и = = . . . =

= 7т О- В приведенной линейной комбинации остаются TOJHHS члены pei + рза + . . + PkCjc, если Ri П % Ф Ф 0. и их коэффициенты равны нулю, так как векторы

Определение 9. Назовем пересечением подпространств и и обозначим Rj f] множество векторов, которые принадлежат одновременно обоим полпрост-ранствам. О

Предложение 7. Пересг-чение R f] R3 есть подпространство.

Действительно, если векторы х и у лежат в Ri f] то они лежат и в Ri, и в R3. Поэтому вектор х -]- у и вектор ах при любом а также лежат и в R, и в Rg, а следовательно, н в Ri Р R3. О

Пусть Ri и R3-два подпространства в пространстве конечной размерности. Рассмотрим к их сумме Rj + Rg следующую систему векторов. Если пересечение R f] П Ro - не нулевое пространство, то возьмем базис ej, . . . . . ., ftfc в Ri П и дополним его векторами t\, . . ., f до базиса в R и векторами gi, - - -, gm ДО базиса в Rg. Если же Ri П 2 - нулевое пространство, то просто берем объединение базиса в Rj и базиса в Rg. Каждый вектор в Rj 4- Rj ЯБЛяе1ся линейной комбинацией выбранных нами векторов. Это следует из того, что х = х -}- Xj, где Xi лежит в Ri- а Xg - в Rg. Тогда х разлагается по векторам . . ., f , ei, . . ., e, a Xg - по векторамв!, . . ., е,

Теперь покажем, что рассматриваемая система векторов линейно независима. Возьмем какую-нибудь линейную комбинацию этих векторов

п к т

г=1 г=1 s=l

Вектор X = 2 Ts-a лежит в R3. Но, очевидно,

X = - 2 - 2

является /i-мерным векторным пространством и обозначается символом

2. Обозначим С [t,. tJ множество т-ок, элементы которых являк.тся непрерывными функциями времени, определенными на интервале t t. Мы будем записывать элементы пространства С * [ц, ty] как вектор-столбцы

ej, 62, . . липейпо независим!.!. Мы показали, что система векторов fj. . . ., fj,; Cj, . . ., е; gj, . . ., является базисом в подпространстве R2. Отсюда вытекает

следующая

Теорема 2. Размерность суммы двух: подпространств равна сумме их размерностей минус размерность ах переселения.

Доказательство. В самом деле, размерность Rj равна п + к, размерность Ra равна-f т, размерность Rj П R3 есть к, а размерность суммы Rj -f R9, как показано выше, равна к -\- п -\- т. (£)

Если пересечение подпространств Rj и Rg - нулевое пространство, то сумма Rj -f R3 называется прямой суммой. Размерность прямой суммы равна сумме размерностей слагаемых. Базис в прямой сумме состоит из векторов fj, . . ., f ,gi, . . ., Гж, гдер!, . . .Jn - базис в Rj, agj, . . . . . . ., - базис в R3. ртсюда следует, что каждый вектор в прямой сумме разлагается в сумму векторов х из Rj и х из Ra единственным образом. Для обозначения прямой суммы используют знак ф или -р.

Понятия суммы, пересечения и нрямон суммы легко могут быть перенесены на любое конечное число подпространств.

П р и м е р ы. Назовем три векторных пространства, которые понадобятса нам в дальнейшем.

1. Совокупность всевозможных систем п вещественных чисел (иногда говорят: совокупность -ок вещественных чисел) X = [xi X2, . . . х.], где сложение и умножение определяются формулами

bl . . . xJ-{- [у1 у2 ... Уп] =

= li + 1 -r-i- У% . -en + yJ.