ЛИЙЕЙНАЯ АЛГЕЁрА

1гл. i

в виде

и(0 =

, ИЛИ и(О = [ihit)...u{t)\.

Легко проверить, что С * [(о, ti\ образует линейное пространство, если определить операции сложения и умножения на скаляры естественным образом:

nit) H-v(0

щ (/) -Ь п (О

aui(i)

Пространство С [0, г] является бескоиечномерпым пространством.

3. Пусть R >< * - множество матриц размером (п X X т) чад полем вещественных чисел. Используя определение сложепия матриц и умпожения их на числа, получим линейное векторное пространство пад полем вешст-венных чисел. Это прострат1Ство (п X т)-мерно. Заметим, что пространство является частным сл>часм пространства Rxm пр;г 7П - i.

Задачи. 1. Укажите какой-нибудь базис п пространствах: R .

2. Найдите ра,)мерность линейного поднрострапства. натянутого на векторы я = [1 3 2 П; = 5 4]; с = [3 7 4 3].

3. Образует ли совокупность векторов на плоскости, начала которых находятся в начале координат, а концы - в пределах первой четверти, линейпое пространство (с обьршымн операциями)?

4. Рассмотрите совокупность Р одних положительных вещественных чисел. Введите операции по следующим правилам: под сложением двух чисел будем понимать их обычное умножение, а под произведением элемента г е Р на вещественное число X будем по-нилгать (обычное) возведение в степень Я числа г. Является ли Р с указанными операциями линейным пространством? Если да, то какова размерность зтого пространства?

5. Является ли линейным пространством совокупность всех векторов из таких, что их координаты удовлетворяют условию *1 + + Хп= О?

6. Доказать, что сумма S линейных подпространств и R тогда и только тогда будет прямой суммой, когда готя бы один вектор X е S однозначно иредставляется в виде х = -)- х, где х <= е Ri, Хг е Ra-

7. Лннепиые оболочки векторов {t-\- i, -\- t,i}, {f, i) образуют подпространства пространства многочленов степени п 2. Укажите базис в пересечении и в сумме этих подпространств.

8. Какую размерность имеет пространство комплексных чисел, заданное над полем вещественлых чисел? Укажите базис этого пространства.

9. Дока;ките, что размерность пересечения п подпространств не превосходит минимальной из размерностей этих подпространств.

§ 7. Линейные преобразования и их матрицы

Задание отображения одною линейного пространства в другое означает задание некоторой функции, аргументами которой являются элементы одного линейного про-страйСтва, а значениями - эдементы другого линейного пространства.

Линейные операторы. Пусть даны два линейных про-Странства X и Y. Рассмотрим отображение линейного про траиства X в линейное пространство Y; общепринятое обозначение такого отображения : X Y. Если это отображение переводит вектор х пространства X в вектор у пространства Y, то мы будем писать у = Л (х), или коро-

че: у = Л X, или X - у.

Отображение jt называют линейным преобразованием, или линейным оператором, жли морфизмом, если оно удовлетворяет двум условиям:

1. Л {х у,) = J, {х) Л- J, (у) для любых X, у из X.

2. Л (ctx) - пЛ (х) для любого х е X и любого числа а.

Так как в дальнейшем мы будем иметь дело только с линейными операторами, то слово линейный чаще всего будем опускать.

Б равенстве у = Лх. вектор у называют образом вектора X, а вектор х - прообразом вектора у. Совокупность всех прообразов называется областью определения оператора Л, а совокупность всех образов - областью значений. Для области значений Л попользуют обозначение: range Л.

По самому определению оператора область его определения есть все пространство X, область же его значений есть подпространство пространства Y. Мы пока ничего не говорим о размерности X и Y. Они могут быть как конечномерными, так и бесконечномерными.

Рассмотрим примеры. 1. Оператор, который каждому вектору X пространства X ставит в соответствие нулевой вектор пространства Y, является очевидно линейным

где В {t) - матрица размеров (п X составленная из непрерывных на отрезке fo функций, а и (()т-мер-ная непрерывная вектор-функция и (/) С [О h-тегралом от матрицы по определению называется матрица, составленная из интегралов элементов матрицы. Аналогично определяется производпа.ч от матрицы. Таким образом, по определению, если А [t) [aj (i)]mXTii то

\A{t)dt= a,{t)dt , -iranit)

Приведенное соотношение (1) является линейным оператором, который ставит в соответствие каждому элементу U (t) пространства С [f, элемент х пространства R .

Символически В: С* ij]R , или и (i) х. Этот линейный оператор действует из бесконечномерного пространства С [Iq, ti\ в п-мериое

Матрицы линейных операторов. Пусть А есть линейный оператор, отображающий пространство Rb m-мерное пространство R* , т.е. R--R . Выберем некоторый базис в R (f, fo, . . ijfi} и базис в R {е, Сд, . . . . . ., е }. Вектор ei переводится оператором в некоторый вектор Ае-1 пространства R* , который, как и .любой вектор этого пространства, можно разложить по базисным векторам

оператором. Его область значений есть нулевое подпространство,

2. Поставим в соответствие калдому вектору х пространства X этот же вектор х. Мы получим линейный оператор Е, действующий из X в X. Этот оператор называется тождественным или единичным оператором. Его область значений есть все пространство X.

3. Если каждому вектору х поставить в соответствие вектор ах, то это линейный оператор. Оп называется ска-лярным оператором.

4. Рассмотрим соотношение

X = \ B{t)\i{t)dt. (1)