Аналогично оператор Л действует и на остальные базисные векторы пространства

= \\ -\- 0223 -\- ... -\- 0Ст2т

е = aint i-f 22+ ... + aJ. Эти формулы можно записать короче:

Ле, =- 2 -гА / = 1> 2, . . .. п.

Коэффициенты (i = 1, 2, . . т; j =1, . . ., ) опре деляют некоторую матрицу Л из m строк и п столбцов:

an ai2 аз1 ааз

которая называется матрицей оператора .А в базисах (е} и {f}. Столбцами этой матрицы по построению служат координаты векторов е, , . ., относительно базиса

Простой проверкой устанавливается, что если в про странстве R задан произвольный вектор х, координаты которого относительно базиса (е) обозначим через {хц Жа, . . и Лх = у, то координаты вектора у относи-

тельно базиса {t\, 4*2, . . ., fi) вычисляются по формуле у = Лх, где А - матрица оператора Л относительно базисов {е}, {Е}. Таким образом, матрица Д полностью определяет оператор .А при фиксированных базисах в пространствах R и R* . Строить эту матрицу тоже чрезвычайно просто, ее столбцы суть координатные столбцы векторов Лх, . . ., Лп б базисе {i, . . f). Это правило часто будет использоваться в дальнейшем для вычисления матриц операторов в различных базисах.

Легко проверить, что любая прямоугольная матрица А размером [т X п) задает некоторый линейный оператор

: R R* , действуюш,ий из -мерного пространства R (с фиксированным базисом) в т-мерное R* {с фиксированным базисом). Тем самым между линейными операторами, действуюш,ими из пространства R в пространство

7fi ЛТТНЕЙНАЯ: АЛГКБРА [ГЛ. 1

R* , и {m X п) матрицами, составленными из элементов поля К, устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Пример 1. Рассмотрим линейное пространство многочленов от t степени 3 с коэффициентами из числового поля К. Это пространство R*. Оператор дифференцирования - относит каждому многочлену из R* некоторый многочлен степени па единицу меньше. Таким образом, этот оператор отображает R.--> R, т. е. : RR .

Оператор дифференцирования является линейным оператором, так как

Выберем в пространстве R* базис {1, t, t, t, а в пространстве R - базис {1, t, t}. Построим матрицу оператора дифференцирования в этих базисах. Б столбцах этой матрицы, согласно указанному правилу, стоят координаты векторов

(1). 4г(п 4r(t%

dt dt dt dt

записанные в базисе {1, t, t}, поэтому матрица оператора имеет вид

0 10 0-0 0 2 0 0 О О 3.

Пример 2. Пусть дан оператор jt, действуюш,ий из R в R, н его матрица в некотором базисе равна Л. Пусть, далее, в пространстве R выбран вектор Ь, такой, что векторы Ь, ЛЬ, АЬ линейно независимы. Построим матрицу оператора ji в базисе {Ь, АЪ, АЪ}, Столбцами этой матрицы согласно правилу будут координаты векторов {ЛЪ, АЬ, АЬ}, записанные в базисе {Ь, Ь, ЛЬ}. Вектор ЛЬ имеет в этом базисе координаты {О, 1, 0), вектор ЛЬ - координаты (О, О, 1), а вектор ЛЬ можно выразить как линейную комбинацию векторов Ь, АЪ, Л%, воспользовавшись теоремой Кэли - Гамильтона, которая утверждает, что матрица А является корнем своего характеристического многочлена. Характеристический

g 7] ЛТткЙНЫК nPEOr.lA.OBAtmrt 7?

многочлен л запишем в виде

ц>а (к) -- \- аХ 4- аХ ag.

Таким образом, т lA + + ~ - Умножая это матричное равенство справа на вектор Ь, получим АЬ = -аАЪ - аАЬ - аЬ, и значит, координаты вектора АЪ в базисе {Ь, ЛЬ, АЪ) имеют вид {- д, -а, -а,}. Матрица А в новом базисе имеет вид

П Г) аз 1 О - О 1 - ai

Точно такие же рассуледения можно провести и в п-мер-ном случае (см. задачу 6).

Ранг и дефект линейного оператора. Пусть Л - линейный оператор, определенный в пространстве R с базисом е-1, eg, . . ., е- Область значений Линейного оператора есть подпространство L, именно - линейная оболочка векторов ei, eg, . . ., Лп (докажите это). Размерность подпространства L определяется числом линейно независимых векторов среди jti, . . Jln, или, что то же самое, рангом матрицы, элементы столбцов которой совпадают с координатами этих векторов, т. е. рангом матрицы оператора. Так как ранг матрицы оператора не зависит от выбора базисов (почему?), то размерность подпространства значений оператора зависит только от самого оператора. Мы будем называть размерность подпространства значений рангом оператора jl и обозначать это число через или rank Jl. Наряду с подпространством значений мы рассмотрим совокупность векторов X е удовлетворяюш,их равенству Jtx = 0. Эта совокуппость векторов является подпространством и называется ядром оператора (кег Jt)- Размерность п ядра называется дефектом оператора А- Если мы обратимся к соответствуюш,ему координатному равенству Ах = О, то легко понять, что дефект оператора Л равен числу решении фундаментальной системы решений этой одиородной системы уравнений, т. е. п - г а- Отсюда следует Га. Ч- а = л. + ~ а = Таким образом, размерность ядра и размерность области значений в сумме дают размерность пространства.