Рассмотрим теперь простейшие операции над операторами.

Пусть даны три пространства R*, R *, R и два линейных оператора ;R -->R и : R* R Произведением операторов .А и S называется оператор отображающий R -->R и такой, что при любом xR

Произведевие операторов записываются так: % = 3,А Из линейности операторов 53 и - вытекает линейность оператора . Выберем в пространствах R и R , R произвольные базисы {е}, {q}, {г} и обозначим через А, В, С матрицы операторов Jl, 3, ъ данных базисах. Они имеют размерность {т X п), [s X m), {s X п) соответственно. Тогда операторным равенствам у = х, ъ = fSy, Z = будут соответствовать координатные (матричные) равенства

у х, Z = By, ъ = Сх.

Из первых двух равенств находим

z = By=B(Ax) = BAx,

что означает С - В А. Таким образом, матрица произведения операторов равна произведению матриц операторов.

Аналогично легко показать, что матрица суммы операторов равна сумме матриц операторов, а оператору ajl, где а - некоторый скаляр, соответствует матрица аА.

Рассмотренные операции вскрывают глубокую связь между линейными операторами и прямоугольными матрицами. Если мы пишем операторное равенство у = Jlx, то формально можем считать, что > и х суть векторы-столбцы, А - прямоугольная матрица, а выражение ,Лх есть произведение двух прямоугольных матриц. Более того, если в действительности Jl есть сложная функция других операторов, сводящаяся к сложению операторов, умножению операторов и умножению операторов на число, то мы снова можем считать jl матрицей, являющейся функцией той же структуры от составляющих матриц.

Столь глубокая связь мекду матрицами и операторами позволяет при изучении последних широко пользоваться всеми элементами теории матриц.

Линейные операторы в R . Линейный оператор, отображающий tt-мерное пространство R* само в себя, мы будем называть просто линейным оператором в R. Над линейными операторами в R имеют место все рассмотренные выше операции.

Сумма двух линеииыл операторов в а также произведение такого опрратора иа число - снова линейные операторы в R . Умножение двух таких линейных операторов всегда вынолннмо, и произведение нх есть снова линейный оператор в R . Поэтому нетрудно установить, что линейные операторы в R образуют кольцо. Выбор базиса в пространстве R устанавливает взаимнооднозначное соответствие (такое соответствие называется изоморфизмом или изоморфным соответствием) между кольцом линейных операторов в R* и кольцом квадратных матриц п-то порядка с элементами из поля К.

Рассмотрим теперь, как изменяется матрица оператора при замене базиса в пространстве R . Пусть в R наряду с базисом ei, Сз,- . .,еп} задан 6a3Hc{{i, fa,. . ., t*}. Тогда имеют место соотношения

у. = Л х У/ jx

где - матрица оператора в базисе (е, . . е , а Af - соответственно в базисе [Ц. Пусть матрица перехода от базиса (е) к базису {i) равна Р, т. е.

Ус - Руь

Хр = - PXf,

тогда имеем j. = Ах, Pyf = APxj, умножая последнее равенство слева на Р, получим у PAPxf, т. е. Af РА.Р. Матрицы, связанные последним отношением, мы определили как подобные матрицы. У этих матриц равны характеристические многочлены.

Таким образом, мы доказали важное

Предложение 1. Две матрицы, соответствую-ufue одному и тому же линейному оператору в R при различных базисах, подобны между собой, причем матрица Р, связывающая эти матрицы, совпадает с матрицей преобразования координат при переходе от первого базиса ко второму. Q

Другими словами, линейному оператору в R отвечает класс подобных между собой матриц. Эти матрицы представляют данный оператор в различных базисах.

Но мы уже описали выше процедуру записи оператора в различных базисах пространства R\ Сравним эти два подхода на примере.

Пример 3. Пусть дана матрица оператора Л -

Г 1 ГО

и дапы два вектора = i *2 = 3 пространстве R, координаты которых соответствуют тому же базису, в котором представлена матрица А. Возьмем эти векторы в качестве нового базиса и вычислим матрицу оператора Л в этом базисе. Ее столбцы суть координатные столбцы векторов Ле и Лса- Вычислим эти векторы:

Ае =

Теперь нужно найти координаты этих векторов но базису ei, е:

2ei--i- 3ei - 2е2.

Координаты вектора Ле суть {2, --}, вектора Л% - {3, -2}. Значит, матрица Л в базисе {е, е } имеет вид

2 3

Обратите впимапне, что нам не понадобилось определять, какие векторы выбраны в пространстве R в качестве базиса. Важно лпшь, чтобы Л и е, были записаны в одном и том же базисе.

Рассмотрим второй способ. Оп заключается в прямом вычислении Л - Р~АР, где Р - матрица перехода к базису {в;, вэ}, в столбцах которой стоят координаты