Главная
>
Управление конечномерными объектами векторов О; по старому базпсу. Значит, р- = 2 3 О f О О 1 О- При втором способе нам пришлось вычислить обратную матрицу и выполнить 2 умпо?кений. При первом способе объем вычислений значительно меньше. Здесь нам но-прежнему не было необходимости определять, какой же был базис в пространстве R, относительно которого матрица А имела первоначальный вид, так как для того, чтобы выписать матрицу перехода к этому базису, нужно только знать координаты новых базисных векторов но старому базису. Координаты первоначальных базисных векторов по новому базису расположены в столбцах матрицы Р . Обратный оператор. Продолжим изучение линейных операторов в R . Поскольку ранг оператора равен рангу матрицы этого оператора, записанной в произвольном базисе, то всем операторам, ранг которых совпадает с размерностью пространства, соответствуют неособенные матрицы. Эти операторы называются неособенными или невырожденными операторами. Дефект невырожденного оператора равен нулю, а ядро состоит только из нулевого вектора. Поскольку для такого оператора любой вектор х связан взаимно-одпозначным соответствием с вектором у по формуле у = х, то и для каждого у определен единственный вектор X, который можно рассматривать как образ элемента у. Определенный таким образом оператор называется обратным оператором и обозначается Л~. Таким образом, если для неособенного оператора справедливо равенство у = х, то по определению х = / у. Нетрудно показать, что если в R фиксирован базис и оператору Л соответствует в этом базисе матрица А, то оператору будет соответствовать матрица А~, Собственные векторы. Пусть в линейном пространстве R* задан оператор Подпространство Ж пространства R называется инвариантным относительно оператора Л, если из X следут ,Лх CfC. П частности, трпвиальпые подпростраяства - нулевое, и все пространство является инвариантным для всякого лит1ейного оператора. Нас будут интересовать, конечно, нетривиальные подпространства. Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства оператора J. Если JT - одномерное инвариантное подпространство, то любой вектор х из Ж оператор .Л переводит в вектор Хх. т. е. х = 1х. Ненулевой вектор X, удовлетворяющий этому равенству для некоторого числа Я, называется собственным вектором оператора А. Число К из этого равенства называется собственным числом или собственным значением сператора As соответствующим собствешгому вектору х. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора. Нетрудно понять, что собствеп]тыми векторами пулевого оператора, тождественного оператора и скалярного оператора будут все векторы пространства R . Эти операторы имеют лишь по одному собственному числу, равному соответственно О, 1 и а. Теорема 1. Собственные векторы Xj, x.. . ., х ; оператора А с попарно различными собственными значениями Xi, Я2,. - ., Хт линейно независимы. Доказательство. Теорему докажем индукцией по числу т. Очевидно, что она верпа при т = \. Пусть она верна для всяких {т - 1) собственных векторов оператора Л, но не верна для векторов Xj, х.....х. Тогда между этими векторами имеется линейная зависимость cxixi + ах. + ... а, х, = О, (2) где, например, Ф 0. Применяя к этому равенству оператор .Л получаем alXi + 32X3 -h -.. + тХтт = О- (3) Умножая равенство (2) на Km и вычитая из (3), получпм di [ k-i - Xm) Xi + ... + a-i {Xm-i - Xjfi) Xm-i = 0. Отсюда Ho индуктивному предположению следует, что все коэффициенты должны быть равны нулю. В частности, 1 (Я1 - Хщ) - о, что противоречит условию: фО, Xi Ф Ят- Следовательно, векторы х, х, . . ., линейно независимы. 0 Следствие. Б п-жриом пространстве линейный оператор не может иметь более п собственных векторов с попарно различными собственными значениями. Выясним вопрос о существовании собственных 31гаче-НИИ и собственных векторов. Выберем в пространстве R базис {е}. и пусть А есть матрица оператора .jt в этом базисе. Тогда операторному равенству Лх = Хх однозначно соответствует матричное равенство Ах = Хх, (.4 ~ХЕ)х 0. Рассматривая полученное соотношение как однородную систему линейных алгебраических уравнений, мы заключаем, что для того, чтобы оператор Л имел собственные векторы, необходимо и достаточно, чтобы система [А - ХЕ) X = О имела ненулевые решения, для чего, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы определитель \А - Равнялся нулю, т. е. собственные значения должны удовлетворять характеристическому уравнению \А-ХЁ\= 0. Это уравнение согласно основной теореме алгебры [10] имеет по меньшей мере один корень, вообще говоря, комплексный. Следовательно, всякий линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, т. е. в пространстве, в котором исходное поле К есть поле комплексных чисе.т, имеет по меньшей мере один собственный вектор. Чтобьг вычислить координаты этого вектора, необходимо решить систему линейных уравнений [А - £]х -О, где X* - корень уравнения \ А ~ ХЕ \ = 0. Если оператор действует в вещественном линейном пространстве, то он может и не иметь ни одного собственного вектора.
|