Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

векторов О; по старому базпсу. Значит,

р- =

2 3

О f О О

1 О-

При втором способе нам пришлось вычислить обратную матрицу и выполнить 2 умпо?кений. При первом способе объем вычислений значительно меньше. Здесь нам но-прежнему не было необходимости определять, какой же был базис в пространстве R, относительно которого матрица А имела первоначальный вид, так как для того, чтобы выписать матрицу перехода к этому базису, нужно только знать координаты новых базисных векторов но старому базису. Координаты первоначальных базисных векторов по новому базису расположены в столбцах матрицы Р .

Обратный оператор. Продолжим изучение линейных операторов в R . Поскольку ранг оператора равен рангу матрицы этого оператора, записанной в произвольном базисе, то всем операторам, ранг которых совпадает с размерностью пространства, соответствуют неособенные матрицы. Эти операторы называются неособенными или невырожденными операторами. Дефект невырожденного оператора равен нулю, а ядро состоит только из нулевого вектора. Поскольку для такого оператора любой вектор х связан взаимно-одпозначным соответствием с вектором у по формуле у = х, то и для каждого у определен единственный вектор X, который можно рассматривать как образ элемента у. Определенный таким образом оператор называется обратным оператором и обозначается Л~. Таким образом, если для неособенного оператора справедливо равенство у = х, то по определению х = / у. Нетрудно показать, что если в R фиксирован базис и оператору Л соответствует в этом базисе матрица А, то оператору будет соответствовать матрица А~,



Собственные векторы. Пусть в линейном пространстве R* задан оператор Подпространство Ж пространства R называется инвариантным относительно оператора Л, если из X следут ,Лх CfC. П частности, трпвиальпые подпростраяства - нулевое, и все пространство является инвариантным для всякого лит1ейного оператора. Нас будут интересовать, конечно, нетривиальные подпространства. Особую роль играют одномерные инвариантные подпространства оператора J. Если JT - одномерное инвариантное подпространство, то любой вектор х из Ж оператор .Л переводит в вектор Хх. т. е. х = 1х. Ненулевой вектор X, удовлетворяющий этому равенству для некоторого числа Я, называется собственным вектором оператора А. Число К из этого равенства называется собственным числом или собственным значением сператора As соответствующим собствешгому вектору х. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора.

Нетрудно понять, что собствеп]тыми векторами пулевого оператора, тождественного оператора и скалярного оператора будут все векторы пространства R . Эти операторы имеют лишь по одному собственному числу, равному соответственно О, 1 и а.

Теорема 1. Собственные векторы Xj, x.. . ., х ; оператора А с попарно различными собственными значениями Xi, Я2,. - ., Хт линейно независимы.

Доказательство. Теорему докажем индукцией по числу т. Очевидно, что она верпа при т = \. Пусть она верна для всяких {т - 1) собственных векторов оператора Л, но не верна для векторов Xj, х.....х. Тогда

между этими векторами имеется линейная зависимость

cxixi + ах. + ... а, х, = О, (2)

где, например, Ф 0. Применяя к этому равенству оператор .Л получаем

alXi + 32X3 -h -.. + тХтт = О- (3)

Умножая равенство (2) на Km и вычитая из (3), получпм

di [ k-i - Xm) Xi + ... + a-i {Xm-i - Xjfi) Xm-i = 0.

Отсюда Ho индуктивному предположению следует, что все коэффициенты должны быть равны нулю. В частности,



1 (Я1 - Хщ) - о, что противоречит условию: фО, Xi Ф Ят- Следовательно, векторы х, х, . . ., линейно независимы. 0

Следствие. Б п-жриом пространстве линейный оператор не может иметь более п собственных векторов с попарно различными собственными значениями.

Выясним вопрос о существовании собственных 31гаче-НИИ и собственных векторов. Выберем в пространстве R базис {е}. и пусть А есть матрица оператора .jt в этом базисе. Тогда операторному равенству

Лх = Хх

однозначно соответствует матричное равенство

Ах = Хх,

(.4 ~ХЕ)х 0.

Рассматривая полученное соотношение как однородную систему линейных алгебраических уравнений, мы заключаем, что для того, чтобы оператор Л имел собственные векторы, необходимо и достаточно, чтобы система

[А - ХЕ) X = О

имела ненулевые решения, для чего, в свою очередь, необходимо и достаточно, чтобы определитель \А - Равнялся нулю, т. е. собственные значения должны удовлетворять характеристическому уравнению \А-ХЁ\= 0. Это уравнение согласно основной теореме алгебры [10] имеет по меньшей мере один корень, вообще говоря, комплексный. Следовательно, всякий линейный оператор, действующий в комплексном линейном пространстве, т. е. в пространстве, в котором исходное поле К есть поле комплексных чисе.т, имеет по меньшей мере один собственный вектор. Чтобьг вычислить координаты этого вектора, необходимо решить систему линейных уравнений

[А - £]х -О,

где X* - корень уравнения \ А ~ ХЕ \ = 0. Если оператор действует в вещественном линейном пространстве, то он может и не иметь ни одного собственного вектора.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139