Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Й4 ЛТТПЕЙКАЯ ДЛГЕПРА I ГЛ. t

Напомним, что у подобных матриц характеристические многочлены совпадают и что I /1 I и Sp-A являются инвариантами.

Треугольная форма матрицы. Если квадратная матрица имеет попарно различные собственные значения к,

ч то соответствующие этим значениям собственные векторы линейно независимы по теореме 1. Тогда с помощью матрицы в столбцах которой стоят эти векторы, матрицу А преобразованием подобия А = РАР можно привести к диагональному виду. На главной диагонали Л будут располагаться собственные числа матрицы А. В том, что матрица Л в базисе из собственных векторов, которые мы обозначим а, а,..., а , имеет диагональный вид, легко убедиться непосредственно. Действительно, пользуясь правилом (см. стр. 75) вычисления матрицы оператора в новом базисе, имеем а = Ла = kai, где а; i-й столбец матрицы А.

Для матрицы А с произвольным набором собственных чисел существует базис, в котором она имеет треугольную форму. Об этом свидетельствует

Теорема 2. Для любой вещественной квадратной матрицы А существует неособенная матрица Р такая, что матрица Р~АР имеет треугольную форму. На главной диагонали этой матрицы расположены ее собственные значения Xi, к,- . ., Я, а элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю.

Доказательство. Используем индукцию, начав с двумерного случая. Пусть к - характеристическое число матрицы Л, а -соответствующий этому числу собственный вектор. Рассмотрим преобразование подобия для матрицы А с помощью невырожденной матрицы Р, первым столбцом которой является вектор с. Так как Ас = Kci, а вектор XjC в базисе (Cj, а) имеет координаты (1, 0), то

р-ыр=

[О 02

Так как матрицы Л и РАР подобны, то они имеют одинаковые собственные значения и, следовательно, к

= 2-

Предположим теперь, что для матрицы Л к~то порядка существует невырожденная матрица Р такая, что



Вк - PkAPii имеет треугольную форму, и докажем, что тогда к треугольной форме приводится и матрица порядка {к -Ь 1).

Пусть С] - собственный вектор матрицы порядка {к Ь 1), соответствующий характеристическому числу к. Выберем векторы а, а. , . aj так, чтобы система векторов Cj, ai, а.2 . ., а была бы линейно независима. Выберем в качестве преобразования Р матрицу, столбцы которой Cj, ai, Эд.. . а. Тогда непосредственной проверкой, как и в двумерном случае, убеждаемся, что

О I

где - матрица к-то норядка, а через * здесь и далее обозначены, возможно, ненулевые элементы. Поскольку характеристическое уравнение правой части имеет вид

то характеристическими числами матрицы В являются величины /.2, 3,. . ., т. е. к остальных характери-

стических чисел матрицы Л. По предположению индукции существует неособенная матрица Р такая, что

. . *

Построим теперь матрицу Pj+i следующим образом:

0 ... 0 -



Тогда матрица РР+х является искомой матрицей преобразования А к треугольной форме. Действительно,

{РгРн+У Л{РхР,п) p-li{P;UPx)Px -

Kl * Х2

Задачи. 1, Постройте базис в области значений и в ядре оператора

О 1 О А= О 1 1 О О 0

2. Выпишите матриц} оператора дифференцирован if я -, дей-ствугощего в пространстве многочленов степени не выше 3-й,

в базисе (1, t, t, t}. Постройте матрицу того же оператора, действующего из -> R, выбрав в качестве базиса пространства R векторы {1 ~\- t, i}.

3. Вычислите матрицу оператора

в базисе xi = [1, 1, 1], хз - [О, 1, 1]. ха = [О, 0. 1].

4. Пусть {Л. Яа, . . ., Я } - характеристические числа квадратной матрицы А, причем все не равны нулю. Вычислите характеристические числа матрицы /Р.

о. Постройте базис пространства решений системы

- Хз - о,

2хо, -f а: = 0.

6. !!yciJ. (j: (л) = Я - -f- аЯ -\~ . . . - характеристиче-cKHii многочлен матрицы Л и пусть существует веитор b такой, что векторы Ь, 4Ь, .4Ь, . . ., Л ~Ь линейно независимы. Запишите матрицу А в бааисе из этих векторов.

7. Укажите пример линейного оператора в вещественном пространстве R, не имеющего ни одного собственного вектора.

8. Докажите, что если А - треугольная матрица -го порядка, все диагональные элементы которой равны нулю, то Л = 0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139