Главная
>
Управление конечномерными объектами Й4 ЛТТПЕЙКАЯ ДЛГЕПРА I ГЛ. t Напомним, что у подобных матриц характеристические многочлены совпадают и что I /1 I и Sp-A являются инвариантами. Треугольная форма матрицы. Если квадратная матрица имеет попарно различные собственные значения к, ч то соответствующие этим значениям собственные векторы линейно независимы по теореме 1. Тогда с помощью матрицы в столбцах которой стоят эти векторы, матрицу А преобразованием подобия А = РАР можно привести к диагональному виду. На главной диагонали Л будут располагаться собственные числа матрицы А. В том, что матрица Л в базисе из собственных векторов, которые мы обозначим а, а,..., а , имеет диагональный вид, легко убедиться непосредственно. Действительно, пользуясь правилом (см. стр. 75) вычисления матрицы оператора в новом базисе, имеем а = Ла = kai, где а; i-й столбец матрицы А. Для матрицы А с произвольным набором собственных чисел существует базис, в котором она имеет треугольную форму. Об этом свидетельствует Теорема 2. Для любой вещественной квадратной матрицы А существует неособенная матрица Р такая, что матрица Р~АР имеет треугольную форму. На главной диагонали этой матрицы расположены ее собственные значения Xi, к,- . ., Я, а элементы, расположенные под главной диагональю, равны нулю. Доказательство. Используем индукцию, начав с двумерного случая. Пусть к - характеристическое число матрицы Л, а -соответствующий этому числу собственный вектор. Рассмотрим преобразование подобия для матрицы А с помощью невырожденной матрицы Р, первым столбцом которой является вектор с. Так как Ас = Kci, а вектор XjC в базисе (Cj, а) имеет координаты (1, 0), то р-ыр= [О 02 Так как матрицы Л и РАР подобны, то они имеют одинаковые собственные значения и, следовательно, к = 2- Предположим теперь, что для матрицы Л к~то порядка существует невырожденная матрица Р такая, что Вк - PkAPii имеет треугольную форму, и докажем, что тогда к треугольной форме приводится и матрица порядка {к -Ь 1). Пусть С] - собственный вектор матрицы порядка {к Ь 1), соответствующий характеристическому числу к. Выберем векторы а, а. , . aj так, чтобы система векторов Cj, ai, а.2 . ., а была бы линейно независима. Выберем в качестве преобразования Р матрицу, столбцы которой Cj, ai, Эд.. . а. Тогда непосредственной проверкой, как и в двумерном случае, убеждаемся, что О I где - матрица к-то норядка, а через * здесь и далее обозначены, возможно, ненулевые элементы. Поскольку характеристическое уравнение правой части имеет вид то характеристическими числами матрицы В являются величины /.2, 3,. . ., т. е. к остальных характери- стических чисел матрицы Л. По предположению индукции существует неособенная матрица Р такая, что . . * Построим теперь матрицу Pj+i следующим образом:
Тогда матрица РР+х является искомой матрицей преобразования А к треугольной форме. Действительно, {РгРн+У Л{РхР,п) p-li{P;UPx)Px - Kl * Х2 Задачи. 1, Постройте базис в области значений и в ядре оператора О 1 О А= О 1 1 О О 0 2. Выпишите матриц} оператора дифференцирован if я -, дей-ствугощего в пространстве многочленов степени не выше 3-й, в базисе (1, t, t, t}. Постройте матрицу того же оператора, действующего из -> R, выбрав в качестве базиса пространства R векторы {1 ~\- t, i}. 3. Вычислите матрицу оператора в базисе xi = [1, 1, 1], хз - [О, 1, 1]. ха = [О, 0. 1]. 4. Пусть {Л. Яа, . . ., Я } - характеристические числа квадратной матрицы А, причем все не равны нулю. Вычислите характеристические числа матрицы /Р. о. Постройте базис пространства решений системы - Хз - о, 2хо, -f а: = 0. 6. !!yciJ. (j: (л) = Я - -f- аЯ -\~ . . . - характеристиче-cKHii многочлен матрицы Л и пусть существует веитор b такой, что векторы Ь, 4Ь, .4Ь, . . ., Л ~Ь линейно независимы. Запишите матрицу А в бааисе из этих векторов. 7. Укажите пример линейного оператора в вещественном пространстве R, не имеющего ни одного собственного вектора. 8. Докажите, что если А - треугольная матрица -го порядка, все диагональные элементы которой равны нулю, то Л = 0.
|