§ 8. Евклидовы пространства. Квадратичные формы

Скалярное произведение. В линейном пространстве отсутствует понятие, аналогичное понятию длины вектора обычного трехмерного геометрического пространства. Длину вектора линейного пространства можно определить с помощью понятия скалярного произведения.

Опреде.1ение 1, Пусть в вещественном линейном пространстве R каждой паре злемеитов х, у поставлено в соответствие вещественное число, обозначаемое <х, у>, т. е- задано отображение <х, у> : R X R-*K\ и пусть при этом выполнены следующие требования:

1. <х, уУ - -(у, х)> (коммутативность).

2. <?.х, у> = <х, у> (однородность).

3. <х -- у, z> <(х, 1} -- <(у, 1} (дистрибутивность).

4. <(х, ху О, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = О (дефинитность).

Тогда говорят, что в линейном пространстве К задано скалярное произведение. О

Определение 2. Вещественное линейное пространство с заданным скалярным произведением называется евклидовым пространством ( -мерным евклидовым пространством, если линейное пространство -мерно).©

Рассмотрим примеры скалярных произведений в линейных пространствах.

1. Пусть R - вещественное линейное пространство всевозможных вектор-столбцов высоты п и пусть

Х = Ui, Х,. . ., xJ, у = {У1, £/2,- . ., yj

- два вектора этого пространства. Тогда функция (х, уУ = [xyi -Ь xy-i -г . . . -Ь х уп\, или, короче, <х, у) = у, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения. Полученное -мерное евклидово пространство обозначают Е .

2. В линейном бесконечномерном пространстве С * [о. ty] вектор-функций, непрерывных на отрезке tf, t t, введем скалярное произведение по формуле

<и(О, V(/)>=. \M{t)y{t)dt.

Полученное бесконечномерное евклидово пространство будем обозначать С* t]. Справедливость аксиом

88 линкйнля ллг1:БгЛ [гл. i

скалярного произведения 1-4 вытекает из известных свойств определенных интегралов.

3. В линейном {п X т)-мерпом пространство матриц размеров {п X т), обозначенном нами R *, скалярное произведение можно ввести по формуле

т п

<А, S> = 2 3 ijhj = tr АВ = Sp АВ = След АВ,

i=l i=l

Пользуясь свойствами следа матрицы (см. задачу 3 § 5), легко проверить, что все аксиомы скалярного произведения удовлетворяются. Полученное {п X т)-мер-ное пространство обозначим через E><°i. Q

Пользуясь аксиомами скалярного произведения, Докажем важное неравенство

<х, у><<х, х><у, у>, (КБ)

которое называется неравенством Коши - Буняковского. Напишем очевидное неравенство

(ах-Ьу, ах + у>>0,

а2 <х, х> -Ь га <х, у> -Ь <у, у> > 0.

Чтобы выполнялось это неравенство, дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположителен (условие отсутствия у квадратного трехчлена действительных различных корней), т. е.

[<х> У>Р-<х х><у, у><0,

<х, у>< <х, х> <у, у>.

Пользуясь понятием скалярного произведения, введем понятие длины или нормы вектора линейного евклидова пространства по формуле

х=- /<.

Из аксиом скалярного произведения вытекают следующие свойства нормы:

1. Jxl = /<>0.

2. ах1 = ах

3. (j x 4- yjl fll + y (неравенство треугольника). Неравенство 3 является прямым следствием неравенства Коши - Буняковского. Действительно, х + у!Р <х + у, x -Ь у> <х, х> + 2 <х, у> + <у, у> <

< (1XI + IIУ Г - х> + 2 ]/<х, х><у, у> + <у, у>,

так как по неравенству Коши - Буняковского

<х, у>2<<х, х><у, у>.

Часто в линейном пространстве вводят норму независимо от скалярного произведения, полагая по определению, НТО I x (t) I - числовая функция, удовлетворяющая аксиомам 1, 2, 3.

Линейное пространство, в котором определена норма вектора, называется нормированным пространством.

Ортогопалнзацня базиса. Рассмотрим вопрос ортого-нализации базиса евклидова пространства.

Определение 3. Два элемента евклидова пространства называются ортогональными, если (х, у) = 0. О

Из зтого определения и свойства 4 скалярного произведения следует

Предложение 1. Только ny.ieeou вектор ортогонален каждому вектору евклидова пространства.

Доказательство. Если <х, у) = О для всех у, то, положив у = x, имеем (х, х) = О, что возможно в силу аксиомы 4 только для нулевого вектора. О

Элемент евклидова пространства, длина (норма) которого равна единице, называется ортом.

Если X Ф О, то вектор х = является ортом. Действительно,

II уо II i/TzzmTs - >< £1 1 1 - V х1/ \\%\\ т ~

Теорема 1 (об ортояормированном базисе). В п-мерном евклидовом пространстве существует базис из взаимно Ортогональных элементов единичной длины - ортонормированный базис.

Доказательство. Возьмем какой-нибудь ба-

зис t\i 21- И положим ej = ij-pr,. Будем искать е

в виде е = Ез - aej и а выберем так, чтобы <е2, еУ = 0.