90 ЛИЙЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЕГЛ. I

Тэк как <е е?> - (U - ае$, ej) - el} - а <е, с?> О,

то достаточно взять а = <(!з, е?>. Найденный вектор Ф О, так как в противном случае мы получили бы, что

векторы и ta линейно зависимы. Положим е* =

Продолжим это построение. Ищем eg = - ре? - yel, где Р и 7 подберем так, что <ез, ej> = О, <ез, е*) 0. Умножая выражение для скалярно сначала на е, а затем на et, найдем, что

причем вз Ф О, так как в противном случае f, fg, кз были бы линейно зависимы. Продолжая этот процесс, мы найдем систему взаимно ортогональных векторов е , ег,. . .

. . ., е единичной длины. Эта система ортов линейно независима. Действительно, допустим противное, т. е. пусть

aBi + ае -j- . . . -J- ае -- . . . -J- аеп -= О и, например, ctg ф 0. Умножив это равенство скалярно на

еа, получим <(е , е ) = О, т. е. е = 0. Это противоречие

доказывает, что система е , . . . , е, является базисом.

Процесс построения базиса приведенным способом называется ортогонализацией базиса. О

Сопряженный оператор. Пусть заданы два евклидовых пространства Y и X. Оператор Л*, действующий из Y в X, называется сопряженным по отношению к оператору .Л, действующему из X в Y, если для любых векторов X е X, у е Y выполняется равенство

<х, у> = <х, ЛУ>.

Заметим, что это определение справедливо для любых (не обязательно конечномерных) евклидовых пространств.

Теорема 2. Для всякого линейного оператора Л. Е -существует сопряженный оператор и притом только один. Если в пространствах Е * и выбраны орто-

нормированные базисы {ci,. . ., е} и {fj,. . ., in} и оператор Л записывается с помощью матрицы А в этих базисах, то сопряженный оператор будет записываться с помощью транспонированной матрицы А.

Доказательство. То. что сопряженный оператор существует и записывается с помощью транспонированной матрицы, следует из соотношения

<у, Ах} - уАх = {АуУ X = <Лу, х>,

справедливого для любой вещественной {п X т)-матрицы А и любых векторов х G Е , у е Е .

Единственность сопряячеппого оператора получается сразу, если предположить противное. О

Рассмотрим примеры сопряженных операторов в трех пространствах со скалярным произведением:

1. В Е согласно теореме 2 сопря>кенному оператору соответствует траиспопированная матрица исходного оператора.

2. Пусть В (t) - (п X т)-матрица функций, непрерывных на [fo, /jl, и u(f) - элемент пространства

10, il. тогда

L{u) = B{t)vL{t)dt

есть линейный оператор, действующий из пространства С1 и Б Е .

Непосредственное вычисление показывает, что сопряженный оператор L* (х) имеет вид

L* (х) = B{t), так что и (f) - B{t) х.

3. Пусть А и X - матрицы {п X п). Тогда L (Х) = = АX -}- ХА есть линейный оператор, действующий

в Е . Нетрудно показать, что сопряненный оператор £.*(Х) имеет вид

L* (У) = AY -Ь YA.

Самосопряжённые операторы. Линейный оператор в Е , Совпадающий со своими сопряженным, называется самосопряженным оператором. Согласно теореме 2 симметричному оператору в ортономированном базисе соответствует симметрическая матрица.

Симметрическая матрица обладает рядом замечательных свойств, часто используемых в дальнейшем.

Теорема 3. Все собственные значения симметрической матрицы вещественны.

Д О К а 3 а т О л ь С т В О. Пусть к - собсгвеппоо число матрицы Л, вообще говоря, комплексное, и пусть х - собственный вектор, соответствующий Я, тоже, вообще говоря, комплекспый. Умножнм i-ю строку системы уравнений {А- ?Е]х = О на число комплексно сопряженное t-й компоненте вектора х, и сложим все строки отой системы уравнений. Воспользовавшись далее симметричностью матрицы А, получим равенство

-1- 13 (31 -1- 20 +----Ь ij iji + ii) -1- -

Левая часть этого равенства - вещественное число, коэффициент при Яо справа - тоже вещественное число, причем пе равное нулю, следовательно, Я - вещественное число. 0

Ясно, что вещественному собственному числу Я симметрической матрицы А соответствует вещественный собственный вектор, координаты которого определяем, решая систему линейных уравнений [А - ХЕ] х = 0.

Чтобы нойти дальше, введем ряд вспомогательных понятий.

Пусть R является подпространством в Е. Совокупность всех элементов z Е , ортогональных ко всем эементам из R, называется ортогональным дополнением к подпространству R. Обозначим это ортогональное дополнение через Q.

Предложение2, Q является подпространством в Е .

Доказательство. Обозначим через г элемент из подпространства R, а через z - любой элемент ортогонального дополнения Q. Если <z, г> = О, то <(Яг, г> = 0. Далее, если <Zj, г> = О и <Z3, г> =0, то и <Zx -f Z2, r> = = 0. Отсюда следует, что при Zi Q и z.2 е Q имеет место

Zi 4- Z2 е Q. о

Предложение 3. Пусть Rs - к-мерное подпространство в пространстве Е , Тогда размерность его ортогонального дополнения Q равна п - к.

Доказательство. Выберем ортонормирован-ный базис в Е {е , . . ., и пусть {f, f. . . f.} - некоторый базис в Rc- Очевидно, что z Q тогда и только тогда, когда <z, ) = О, <z, = О...