/1 1 + /а 3 + . - + 2 и.

Здесь . - координаты вектора t\ по ба-

зису е?, 6°, . . ., вд- Мы получили относительно z линейную однородную систему уравнений, матрица которой имеет ранг к, ибо векторы fj, f,- -i f;c линейно независимы. Пространство рошепий этой системы (п - /с)-мерно. Следовательно, размерность ортогонального дополнения Q равна (п - к). О

Докажем теперь основной факт leopHH самосопряженных преобразований.

Теорема 4. Всякое самосопряженное преобразование в пространстве Е обладает ортонормироеанным базисом собственных векторов, и, следовательно, всякая вещественная симметрическая матрица подобна диагональной вещественной матрице, и матрица преобразования подобия вещественна.

Доказательство. Если все корни характеристического уравнения различны, то утверждение теоремы сразу следует ыз теорем 2 и 1 § 7. Пусть корни кратные. Докажем теорему по индукции. Если пространство Е одномерно, то утверждение теоремы очевидно. Предположим, что оно справедливо для {п ~- 1)-мерного евклидова пространства, и докажем, что оно справедливо тогда и

для п-мерпого простраиства. Пусть Х и - соответ-ствепно некоторое собственное значение и некоторый нормированный собственный вектор преобразования Jl. Рассмотрим одно.мериое подпространство ах и ортогональное дополнение к нему Q, которое согласно предложению 3 (rt - 1)-мерно. Покажем, что преобразование Jl переводит Q в себя. Пусть z s Q, т. е. <(z, х°> = О,

тогда <z, х°> = <z, jtxn} = <z, Ях*) = > <z, Xn> = О, п значит S Q. По индуктивному предположению преобразование Л в [п- 1)-мериом подпространстве

. . . <z, ffe)>--0. Запишем ЭГИ равенства в базисе {el, е , . .

?л о ... О О и ... О

О о ... -)i

где j, . Хп - собственные числа матрицы А, причем каждое собственное значение выписано столько раз, какова его кратность. Заметим, что матрица U обладает одной важной особенностью. По определенню в столбцах этой матрицы стоят координаты векторов базиса {х ,

Хз, . . ., ХпУ по базису {е?, . . ., е). Так как оба базиса ортонормированы, то

UU = Е.

Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются ортогональными матрицами. Пусть - обратная матрица для ортогональной матрицы U. Тогда в силу условия UU = Е имеем = U для всякой ортогональной матрицы и.

Результат теоремы 4 используем для доказательства простого, но важного для пас факта.

Теорема 5. Линейное пространство К представимо в виде прямой суммы области значений и ядра любого самосопряженного линейного оператора, или, что то же самое, всякой вещественной симметрической матрицы А. Символически это можно записать так:

R = range А @Ыт А.

Q имеет оргонормировавный базис х. Хч,. . .. x-i собственных векторов. Добавив к этому базису нормированный вектор х , мы получим ортонормпрованный базис векторов во всем пространстве Е. Q

Пусть А - произвольная симметрическая вещественная {п X п)-матрида. Всегда мо/кпо считать, что в некотором ортонормировапном базисе она описывает некоторое

преобразование Л. Пусть х , х.. , х* - ортонорми-рованный базис из собственных векторов преобразования Л. Согласно доказанной теореме матрицу А можно привести с помощью преобразования подобия к диагональному виду. Обозначим через U соответствующую матрицу преобразования. Тогда

Пример.

О 1-о о

вектор X =

лежит в ядре матрицы Л, так как Ах = 0.

Одновременно этот вектор лежит в области значений этой матрицы, так как, например, при у = [1, 1] имеем Ау X.

Линейные уравнения. Каждую систему из п линейных уравнений с п неизвестными можно рассматривать как одно уравнение вида Ах = b в n-мерном евклидовом пространстве Ё, где Ь - заданный вектор, А - матрица X я, X - искомое решение. Так как сопряженное линейное преобразование в задается матрицей А, то уравнение А у - с называют сопряженным уравнением.

В евклидовом пространстве основные результаты относительно разрешимости уравнения Ах = Ъ можно сформулировать следующим образом.

Доказательство. Пусть симметрическая вещественная матрица А имеет ранг г. Тогда, в области знй-чений матрицы А согласно теореме 3 существует базис из г собственных векторов {f, . . ., f,.}. Выберем теперь какой-либо базис .....п-г) в ядре матрицы А. Покажем, что если X принадлежит области значений матрицы А, то ни одна из его ненулевых компонент не лежит в ядре матрицы А. Пусть х range А и х = Xyii -р . . . -Ь

Хт fr и пусть одновременно Ах = 0. Тогда

Ах А {xih -f + 4r) .iEi -f ... + XrAir

Xill -- . . . -j- X-fkJ.r,

где s r, причем все числа Я; О, i = 1,2,. . . , s, значит, все числа х,. . . , ж, суть нули, так как в противнол! случае мы имели бы нетривиальную линейную зависимость векторов fl, . . . , г- Значит, ни одни из ненулевых векторов, принадлежащих области значений А, не содержится в ядре А. О

Требование симметричности матрицы А существенно. Для несимметрической матрицы это утверждение уже неверно, хотя сумма размерности области значений и ядра матрицы по-прежнему равна размерности пространства п.