Получим, например, первое равенство. По определению разно ;ти имеем с -\- (Ь - с) = Ь. Умножим обе части этого равенства на а, тогда а (с -]- (& - с)) ~ аЬ = - Ой-f-а (6 - с). Из последнего равенства мы видим, что б {Ь с) = аЬ - ас.

Пользуясь дистрибутивностью операции вычитания, покавдем, что произведение двух элементов кольца равно нулю, если равен нулю один из элементов. В самом деле,

а-О ~- Ь) = аЬ - аЬ ~(i,0-a = {Ь ~ Ь)а = ba - ba = 0.

Обратное, однако, не всегда верно. Если произведение двух элементов равно нулю, то сомножители могут и не равняться нулю: аЬ ~ Q при а О и b фО. Такие элементы а, b кольца называются его делителями пуля. Например, в кольце непрерывных на отрезке [О, 11 функций делителями нуля будут функции

О при 0<г< 0,5,

t при 0,5<г<1, t при 0<г<0,5, О при 0,5<г<1.

Очевидно, что 1{1)Ф<) и f{t)0 (О здесь не число нуль, а нулевой элемент кольца - функция, тождественно равная нулю при Oti) и в то же время h Шг (О = 0.

Свойство дистрибутивности вычитания позволяет проверить справедливость следующих правил знаков при умножении:

(-а) b = -ab, а (-b) - -ab, {-а) (-b) = ab.

Действительно, проверим, например, второе правило

а (- &) = а (О - Ь) = а О - ab = - ab.

аким образом, алгебраические операции в произвольном ьце обладают многими привычными свойствами опера-ЩША над числами.

Есть, однако, и существенные отличия операций в 1Ёроизвольном кольце и в числовых системах. Мы указали Щй следующие, наиболее важные; 1) в произвольном ассо-Вативном кольце умножение может быть некоммутативно.

16 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ТГЛ. I

поэтому, например, формула - не верпа вообще говоря, в таком кольце, 2) может не существовать элемента, выполняющего функцию единицы кольца, 31 операция деления может быть вообще не выполнима, 4) произведение ненулевых элементов (делителей нул) может равняться нулевому элементу кольца. Заметим еще, что мы определили степень элемента кольца только для целых положительных чисел.

Поле. Свойства операций в поле. Обратимся к одному особому классу колец.

Определение 4. Коммутативное кольцо, в котором уравнение ах ~ b разрешимо при любых а Ф О (т. е. выполнимо деление на любой элемент, кроме ненулевого), называется полем. Q

Если в кольце единица могла и не существовать, то в поле она всегда существует и единственна. Доказывается это в точности так же, как мы доказывали существование и единственность нулевого э.темента в кольце. Дословное повторение доказательства возможно потому, что соот-нотеиия а + с = аиае = а отличаются только знаком операции, и изменения в доказательствах будут состоять лишь в замене терминов: сложения - умножением, нулевого элемента - единичным элементом, противоположного элемента - обратным элементом.

Таким образом, для ноля справедливо следующее

Предложение 4. 1. В поле всегда существует и единствен единичный элемент такой, что ае еа = а для любого а из поля.

2. Для каждого ненулевого элемента поля существует и единствен элемент а такой, что a~a = аа = е, называемый элементом, обратным относительно а. При этом (а~*) - а.

3. Для любого элемента а, отличного от нуля, и любого целого положительного числа п имеет место равенство (a~) ~ (а ) . Эти равные между собой элементы обозначаются через а . Q

В поле справедливы любые обычные операции с дробями. Так, решение уравнения ах = b {а Ф 0} можно записать в виде {а~) ах х ~ а~Ь ~ Ь/а. Действия с символом Ь/а ничем не отличаются от обычных операций с дробями, а именно: = - тогда ц только тогда, когда be = а4

(афО, сфО), = (правило сложения) {а Ф о,

сфЩ-, 7 ~ 7 (Рило умножения) {а ф, с Ф 0), Jl : =: (правило деления) [аф, с фО, d Ф 0). Правила действий со степенями

aV - = а , (а ) = а , [abf = ab

справедливы для всех целых тип.

В отличие от кольца поле не содержит делителей нуля. Если произведеипе элементов поля ab равно нулю, то по меньшей мере один из сомножителей а или b равен нулю. Действительно, пусть а О, тогда, умножив обе части равенства а6 = о на а, получим 6 = 0.

Примеры 1. Полем является совокупность рациональных чисел, совокупность вещественных чисел (это поле обозначается буквой R), совокупность комплексных чисел (обозначается бзквой С).

2. Построим пример конечного поля из двух элементов ftj, определив операции сложения и умножения следующим образом:

v- сложение -\- ~ а, 1 Н- а - 1, а ~г а2 - а, умножение аа = а, аа ~ а, аф = а.

Тогда, очевидно, является единицей поля, а - его нулем, и легко проверить, что все аксиомы выполняются.

3. Полем будет совокупность дробно-рациональных функций с действительными коэффициентами [29]

Поле вещественных чисел. Помимо того, что множество вещественных чисел является полем, оно обладает еще рядом замечательных свойств, которые для поля, вообще говоря, не обязательны. Чтобы аксиоматически описать множество вещественных чисел, необходимо заметить, что -0 - поле, элементы которого удовлетворяют следую-нщм аксиомам.

Аксиома упорядоченности. Любые два вещественных числа а и 6 удовлетворяют одному и только одному нз трех соотиошеиий; а <с.Ь, а = 6, а Ь. При WoM, если а<С&и6<;с, тоа<;с (транзитивность свой-

,fTsa упорядоченности).