Главная
>
Управление конечномерными объектами 96 линейная алгебра IVn.J называется матрицей Грама этой системы векторов. Определитель этой матрицы называется определителем Грама. Б силу коммутативности скалярного умноления матрица Грама удовлетворяет условию Г = Г и, следовательно, является всегда симметрической матрицей. Если (1, Сз,. . ., п) - базис пространства Е, то скалярное произведение двух векторов х и у, имеюш,их в этом базисе координатные столбцы х= [xi,..., Хп], у - = [t/n- -1 /nl можно записать в виде <х, у> - aifb S Vii}-Пользуясь свойствами 2, 3 скалярного произведения, Теорема 6. Чтобы уравнение Ах = Ь было разрешимо при любом векторе Ь, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий: а) однородное уравнение Ах = О имеет только тривиальное решение, б) сопряженное уравнение Ау = с разрешимо при любом с. Если уравнение Ах = b ие разрешимо при любом Ь, то оно имеет решение для тех и только для тех векторов Ъ, которые удовлетворяют равенству (Ъ, у*> - О, где у* - любое решение однородного сопряженного уравнения, или, другими словами, решение существует только для векторов Ь, ортогональных всем решениям однородного сопряженного уравнения. О Для доказательства теоремы, которое предлагается провести читателю, достаточно воспользоваться результатами § 4, сформулировав их на языке линейных операторов. Матрица Грама. Пусть в евклидовом пространстве, конечномерном или бесконечномерном, задана система векторов <fi, fa,. . ., f >. Матрица, составленная из попарных скалярных произведений этих векторов,которая имеет вид ~(fl, fl> <fb f.> . . . (fl, f > p (f-2, fl> <b, f-.> ,.. (f-., О получим <х. у> = S iyi<fi,fj> = xTy. Если базис {(} ортонормирован, то Г = £ и -(х, у) = = ху. Пусть в пространстве Е заданы два базиса {е} и {f}, связанных ме;кду собой матрицей перехода /*. Рассмотрим элемент матрицы Грама базиса {f} А=1 J=i к, I Совокупность этих равенств при всех / ~ 1, 2,. . ., п равносильна матричному равенству Пусть базис {е} ортонормирован. Тогда Ге = £ и Г/ = РР. Применяя теорему о детерминанте произведения матриц, получим det Г, - ()el Р del Р (dei Pf > 0. Поскольку базис {!} произволен, то доказано Предложение 4. Детерминант матрицы Грама любого базиса строго положителен. 0 Это утверждение мо;кег быть усилено следующем образом. Теорема 7. Пусть Xj, Хз,- . ., х. - произвольные векторы в евклидовом пространстве. Тогда детерминант матрицы Грама этих векторов положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если онилипейпо зависимы. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает. Доказательство. Первое утверждение сразу следует из предложения 4, так как, если векторы х, Xg,... . . Хн линейно независимы, то их можно рассматривать как базис в своей линейной оболочке (другими словами, в подпространстве, натянутом на векторы х,. . ., xj,-). Если же векторы х, х,. . -, х линейно зависимы, то выполнено равенство aXj -- зХ -4- ~Ь hk = О и не все (i = 1, 2,. . ., к) суть нули. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов Xj, Хз,. . ., Xj(, 4 Ю. Н. Андреев которой удовлетворяют коэффициенты oi, д,. . ., ajt. Так как эта система имеет нетривиальное решение, детерминант ее матрицы должен равняться нулю. О Заметим, что неравенство Коши -Буняковского является простым следствием этой теоремы при = 2. Квадратичные формы. Пусть в n-мерном линейном пространстве R каждому элементу ноставлено в соответствие число к (х). Тогда говорят, что в линейном пространстве определена функция к{х): R ->Ri. Определение. Пусть в веп].ественном /г-мериом пространстве, быть может евклидовом, определена вещественная функция к (х), которая в некотором базисе Cj, eg,. . ., ei записывается однородным многочленом второго порядка относительно координат вектора х но базису {е}: к (х) = a-iixl + 2Я12Ж1ЯГ2 + 2fli3jri3 -h . . . где aj - фиксированные вещественные числа. Приведенный многочлен второго порядка можно компактно записать с помощью симметрической матрицы А, составленной из его коэффициентов ffl,j]nxn> в виде к{х) -- хАх = <х, Лх>. Такую функцию к (х) называют квадратичной формой, заданной на элементах линейного пространства R, а матрицу в определении квадратичной формы - матрицей квадратичной формы. Говорят, что квадратичная форма к (х) положительно определена в пространстве R , если для любого ненулевого вектора х S R имеет место неравенство к (х) = хАх > 0. МЫ Придем к системе лииейиых уравнений 1 <xi, xi> + . .. + afc <Xi, x> = 0,
|