Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

96 линейная алгебра IVn.J

называется матрицей Грама этой системы векторов. Определитель этой матрицы называется определителем Грама. Б силу коммутативности скалярного умноления матрица Грама удовлетворяет условию Г = Г и, следовательно, является всегда симметрической матрицей.

Если (1, Сз,. . ., п) - базис пространства Е, то скалярное произведение двух векторов х и у, имеюш,их в этом базисе координатные столбцы х= [xi,..., Хп], у - = [t/n- -1 /nl можно записать в виде

<х, у> - aifb S Vii}-Пользуясь свойствами 2, 3 скалярного произведения,

Теорема 6. Чтобы уравнение Ах = Ь было разрешимо при любом векторе Ь, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из эквивалентных условий: а) однородное уравнение Ах = О имеет только тривиальное решение, б) сопряженное уравнение Ау = с разрешимо при любом с.

Если уравнение Ах = b ие разрешимо при любом Ь, то оно имеет решение для тех и только для тех векторов Ъ, которые удовлетворяют равенству (Ъ, у*> - О, где у* - любое решение однородного сопряженного уравнения, или, другими словами, решение существует только для векторов Ь, ортогональных всем решениям однородного сопряженного уравнения. О

Для доказательства теоремы, которое предлагается провести читателю, достаточно воспользоваться результатами § 4, сформулировав их на языке линейных операторов.

Матрица Грама. Пусть в евклидовом пространстве, конечномерном или бесконечномерном, задана система векторов <fi, fa,. . ., f >. Матрица, составленная из попарных скалярных произведений этих векторов,которая имеет вид

~(fl, fl> <fb f.> . . . (fl, f > p (f-2, fl> <b, f-.> ,.. (f-., О



получим

<х. у> = S iyi<fi,fj> = xTy.

Если базис {(} ортонормирован, то Г = £ и -(х, у) = = ху. Пусть в пространстве Е заданы два базиса {е} и {f}, связанных ме;кду собой матрицей перехода /*. Рассмотрим элемент матрицы Грама базиса {f}

А=1 J=i к, I

Совокупность этих равенств при всех / ~ 1, 2,. . ., п равносильна матричному равенству

Пусть базис {е} ортонормирован. Тогда Ге = £ и Г/ = РР. Применяя теорему о детерминанте произведения матриц, получим

det Г, - ()el Р del Р (dei Pf > 0.

Поскольку базис {!} произволен, то доказано

Предложение 4. Детерминант матрицы Грама любого базиса строго положителен. 0

Это утверждение мо;кег быть усилено следующем образом.

Теорема 7. Пусть Xj, Хз,- . ., х. - произвольные векторы в евклидовом пространстве. Тогда детерминант матрицы Грама этих векторов положителен, если векторы линейно независимы, и равен нулю, если онилипейпо зависимы. Отрицательным определитель Грама никогда не бывает.

Доказательство. Первое утверждение сразу следует из предложения 4, так как, если векторы х, Xg,... . . Хн линейно независимы, то их можно рассматривать как базис в своей линейной оболочке (другими словами, в подпространстве, натянутом на векторы х,. . ., xj,-). Если же векторы х, х,. . -, х линейно зависимы, то выполнено равенство aXj -- зХ -4- ~Ь hk = О и не все (i = 1, 2,. . ., к) суть нули. Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов Xj, Хз,. . ., Xj(,

4 Ю. Н. Андреев



которой удовлетворяют коэффициенты oi, д,. . ., ajt. Так как эта система имеет нетривиальное решение, детерминант ее матрицы должен равняться нулю. О

Заметим, что неравенство Коши -Буняковского является простым следствием этой теоремы при = 2.

Квадратичные формы. Пусть в n-мерном линейном пространстве R каждому элементу ноставлено в соответствие число к (х). Тогда говорят, что в линейном пространстве определена функция

к{х): R ->Ri.

Определение. Пусть в веп].ественном /г-мериом пространстве, быть может евклидовом, определена вещественная функция к (х), которая в некотором базисе Cj, eg,. . ., ei записывается однородным многочленом второго порядка относительно координат вектора х но базису {е}:

к (х) = a-iixl + 2Я12Ж1ЯГ2 + 2fli3jri3 -h . . .

где aj - фиксированные вещественные числа. Приведенный многочлен второго порядка можно компактно записать с помощью симметрической матрицы А, составленной из его коэффициентов ffl,j]nxn> в виде

к{х) -- хАх = <х, Лх>.

Такую функцию к (х) называют квадратичной формой, заданной на элементах линейного пространства R, а матрицу в определении квадратичной формы - матрицей квадратичной формы.

Говорят, что квадратичная форма к (х) положительно определена в пространстве R , если для любого ненулевого вектора х S R имеет место неравенство

к (х) = хАх > 0.

МЫ Придем к системе лииейиых уравнений

1 <xi, xi> + . .. + afc <Xi, x> = 0,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 [ 30 ] 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139