аи 012 ац Два

> О,...

(711

>о. о

Для оценок значений квадратичной формы часто пользуются следующим результатом.

Теорема 9. Если А - вещественная симметрическая матрица, а УГ {А) и Я+ [А) - ее минимальное и максимальное собственные значения соответственно, то для всех X S R имеет место неравенство

Г [А) хх = Г [А) 1X f < хАх < + [А) \xf = Я+ {А) хх

и существуют значения х такие, что равенства слева и справа достигаются.

Доказательство. Рассмотрим задачу поиска экстремума функции / (х) - хЛх (х х) для х 0. Необходимое условие экстремума состоит в равенстве нулю частных производных по компонентам вектора х. Дифференцирование / (х) дает

Лх - (х) X = О, л (х) = хЛх (хх)~*.

Если для любого X S выполняется неравенство

к{х) = хЛх>0,

то такая форма называется неотрицательно определенной, или положительно полуопределенной. Аналогично определяют отрицательно определенную и неположительно определенную квадратичные формы. О

Поскольку квадратичная форма полностью определяется заданием матрицы А, то говорят также о положи-пгельно определенной матрице А, неотрицательно определенной матрице и т. д.

Приведем без доказательства критерий положительной определенности квадратичных форм.

Теорема 8 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма хАх была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны, т. е. чтобы выполнялись неравенства

Ai = aii>0, Да =

хЛ-х = - det

О x x А

6. Пусть А п В - симметрические положительно определенные матрицы. Покажите, что если i, Яд, . . ., Я - собственные числа матрицы А, записанные в убывающем порядке, и pj, ра- -...,6 - собственные числа матрицы А --{ В, Pi рг Рп то Pi - Яг О при всех t = 1, 2.....п.

7. Пусть А - неотрицательно определенная матрица. Покажите, что х Ах равно нулю тогда н только тогда, когда Ах = 0. (У к а-3 а н н е. Рассмотрите (х -- ХуУА (х 4- Яу) для - оо < Я <! < + оо, уАу = О и Лу 0.)

8. Докажите, что уравневие Ах = Ь, где А - матрица (п X X ш), разрешимо при любой правой части тогда и только тогда, когда уравнение Ах = О имеет лишь тривиальное решение.

Так как \i - скаляр, то необходимое условие может быть выполнено лишь в том случае, когда р является собственным значением матрицы Л, а х - соответствующим этому собственному значению собственным вектором. Поскольку А - симметрическая матрица, то все ее собственные значения вещественны и среди них найдутся максимальное Я+ (А) и минимальное Я (А) собственные значения. Пользуясь определением р, мы видим, что равенства в условии теоремы выполняются. О

Задачи. 1. Покажите, что если А - треугольная матрица, то обратная матрица А - тоже треугольная и иа ее диагонали стоят величины, обратные собственным числам матрицы А.

2. Докажите, что если А - положите.чьно определенная матрица, то выражение хЛу, где х, у - два любых вектора в удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения.

3. Если А в В - квадратные матрицы, то неравенство Л > 5 понимают обычно в том смысле, что матрица А ~- В положяте.тьно определена. Пусть А н В - положительно определенные сидаетри-ческие матрицы. Покажите, что А - В О тогда и только тогда, когда В- - А~ > 0.

4. Постройте пример, показывающий, что если А - В О (А В - положительно определенные симметрические матрицы), то не обязательно - > 0.

5. Проверьте равенство

ГЛАВА П

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Материал этой главы является той основой, на которой построено изложение теории линейных динамических систем. Нас будет интересовать главным образом структура решений и в значительно меньшей степенн техника интегрирования конкретных уравнений. В связи с этим основной темой будет исследование свойств переходной матрицы системы линейных дифференциальных уравнений.

§ 9. Однородная система. Существование и единственность решения

Рассмотрим однородную систему уравнений

k{t) =А {t)x{t). (ЛО)

Здесь А (t) - матрица п X п, составленная из непрерывных функций. На два основных вопроса требуется получить ответ в первую очередь: 1) сзщоствует ли решение этого уравнения, проходящее через заданную точку х в момент времени t , 2) если такое решение существует, то является ли оно едипствснным? Ответы на оба вопроса положительны.

Поскольку вопрос существования связан с конструктивным построением решения, которое (построение) не.ть-зя реализовать, вообще говоря, с помощью элементарных функций, мы начнем со второго, более простого вопроса.

Единственность решения. Итак, предположим, что решение уравнения (ЛО) существует. Тогда справедлива следующая

Теорема 1 (о единственности решения). Если А {t} - матрица п X элементы которой непрерывные