[z(0f)-il(0fz(0f <0.

Если это неравенство умножить на положительный коэффициент

р {t) ехр - т (о) do и

то результат можно выразить так:

i-[p (011(0 ГКО.

Интегрируя, получаем для всех t неравенство p(Ollz(Of-p(fo)[z(fo)f <0,

или, так как z (; ) О, р (t) [ z () 0. Поскольку коэффициент р (t) положителен, то, значит, z [t) = 0. Отсюда Xi (t) = Хз (t) для всех to t ti. О

Конечномерность пространства решений. Рассмотрим теперь свойства множества рещепиЙ линейного диффе-

функции времени, определенные на интервале to t ti, то имеется единственное решение системы. (ЛО), которое определено на интервале to h принимает значение Хц при t - tg.

Доказательство. Предположим противное. Пусть и Х.2 - два различных решения уравнения ± (t) = Л {t) X (t) и xi (to) = Хз (о) =хо. Пусть Z {t) = = Xi (t) - x (t), тогда z (О Л (i) z () и z (; ) = 0. Учитывая скалярное неравенство

[Sl + 4 + .. + 4l = 4 [zz] = 2z (0Л (()z(() =

n n

- S S 2sai)flii(t)2j(t)<

Ti n

< S Sl!d012maxaj(0l(ji(0lK

и обозначив через г) (i) коэффициент при z (t) р в последнем выражении, можем записать

ренциального уравнения к (t) = А {i) х (t). Сначала заметим, что если функции (t) и х- {t) являются решениями этого дифференциального уравнения, то их линейная комбинация тоже является решением. Действительно, если Xj {t) = А {t) Xi (t) и Хз (t) = А (t) х (t), то aiXi(0 -h ttaXg (t) = aiA (t) x-it) aA{t)x2 {t) = = A {t) (aXi {t) -1- aXa (()), и функция z {t} = ах (t) + -{- ax (t) является решением. Это справедливо, конечно, и для линейных комбинаций п решений Xi(t),. . . ,Хп (t). Таким образом, для возможных решений уравнения X (t) = = А {t) X {t) выполнены аксиомы линейного пространства. Это пространство напоминает нам пространство С [0, ili составленное из п-мсрных вектор-функций, непрерывных при to ! t t. Вообп],е говоря, пространство С Uq, ty] является бесконечномерным. Множество решений линейного уравнения х (t) = А (t) х {t} оказывается конечномерным (именно -мерным) линейным пространством. Этот факт следует из доказанной выше единственности решения дифференциального уравнения. Согласно доказанной теореме каждому вектору начальных условий соответствует одно и только одно решение дифференциального уравнения, и тем самым устанавливается взаимнооднозначное соответствие между пространством R* и множеством решений уравнения (ЛО).

Теорема 2. Множество всех решений уравнения (ЛО) образует -мерное векторное пространство над полем вещественных чисел.

Доказательство. Аксиомы линейного пространства легко проверяются непосредственно. Остановимся на доказательстве конечномерности пространства решений. Попутно получим способ построения базиса в этом пространстве.

Пусть е, eg,. . ., е - базис в R и пусть вектор х,- {t) является решением (ЛО) при начальном условии х {1) = = е£ {i = 1, 2,. . ., п). Покажем, что набор решений х; (t) является базисом пространства решений. Действительно, векторы Х( (t) линейно независимы, так как в противном случае нашлись бы числа а, ctj,. . ., а , не все являющиеся нулями и такие, что aiXi(i) -\- . . . + anXn(t) = О при всех to t ti, в частности, при t = имело бы место равенство

которое противоречит линейной независимостп векторов

Пусть теперь х (t) - решение уравнения (ЛО) и пусть X (to) = е, где е - какой-либо ненулевой вектор в Так как {е . . ., е ,} - 6рзяс, то е = aei ~ + . + пСп И 1 - не все нули. Но тогда aXi (t) - + . . + onX (О является репгепием уравнения (ЛО) с начальным условием е. Так как решение при фиксированном начальном условии единственно, то х (t) = = aXi (i) -f . . . 4- cCnXn (0 система функций {x (t)} (s = 1,2,. . ., n) действительно является базисом в пространстве решений. О

Фундаментальная матрица. Пользуясь доказанным свойством множества решений уравнения (ЛО), введем следуюп],ее важное.

Определение 1. Матрица X (t) размеров (п Хп) называется фундаментальной матрицей системы х (t) = ~Л (t) X (t) тогда и только тогда, когда в ее столбцах стоят п линейно независимых решений этой системы, Q)

Определитель любой фундаментальной матрицы называют определителем Вронского. Согласно теореме 2 определитель Вронского но обращается в нуль ни в одной точке интервала to t ti, и, следовательно, фундаментальная матрица при любом значении t является неособенной матрицей. Поскольку каждый столбец этой матрицы удовлетворяет дифференциальному уравнению (ЛО), то, значит, сама матрица X (;) удовлетворяет дифференциальному матричному уравнению

X{t) =A{t)X{t),

с начальным условием X (to) = Xq, где Xq - неособенная вещественная матрица. Справедливо и обратное утверждение.

Если X (t) удовлетворяет этому матричному уравнению и является неособенной матрицей при всех to t ti, то все столб1[Ы ее линейно независимы и, следовательно, X (t) - фундаментальная матрица. Таким образом, доказано

Предложение 1. Матрица X (t) является фундаментальной матрицей уравнения х (t) ~ Л (t) х (t) тогда и только тогда, когда X (t) удовлетворяет матричному

дифференциальному уравнению X (t) = А (t) X (t) при