Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

начальном условии X (to) = Xq, где Xq - неособенная вещественная матрица. 0

Это свойство можтю принять в качестве определения фундаментальной матрицы.

Переходная матрица. Поскольку определитель фундаментальной матрицы X [t) не обращается в нуль ни в одной точке, то при любомТфпксированпомо существует обратная матрица Х~ (;(,)Гп имеет смысл

Определение 2. Если X {t) - какая-либо фундаментальная матрт1,а уравнешгя (ЛО), то

Ф {t, g = X {t)-x-(t,)

для всех to t-, t(t называется переходной матрицей уравнения (ЛО), или переходной матрицей, соответствующей матрице А {t). 0

Непосредственно из определения вытекают след5тощие свойства переходной матрицы:

1. Ф (to, t,) = X {t,) Х- it,) = E.

2. Ф( 1о)\фО ни при каких to t, to t.

3. {t, t,)) = Ф (01 О- Действительно,

Ф (;, to) = [X it) (to)]- = [Х~ (to)]- [X (t)]- =

= X {to)X~ it) = Ф (to, t). Заметим, что переходная матрица - это такая фундаментальная матрица, которая удовлетворяет начальному условию X {to) = Е. Поэтому согласпо предлон№нию 1 переходную матрицу можно определить как решение матричного дифференциального уравнения

Ф {t, to) = А {t) Ф {t, to), Ф {to, to) = E.

Рассмотрим один из способов построения переходноймат-рицы. Напомним, что обратную матрицу можно построить, если регппть п систем линейных уравнений

Az bl, = ba, . . ., Az = b ,

где ь; = [1,0,..., 0], ь; = [0,1,..., 0],..., ь; =

= [о, о,. . 1], и составить из полученных столбцов решений Zj, Zg,. , ., Ъп матрицу [zj, z,. . .. z ] = Z (см. § 3). Тогда AZ = Е и, значит, Z = А~. Точно таким же способом можно построить переходную матрицу для уравнения (ЛО). Предположим, что решение этого уравнения найдено для следующих начальных условий



В момент tff.

х[ it,) = [1,0,. . ., 0], х; ((о) = tO,l,. . ., 0],. . ., Xn{to)-=

= [0,0,. . И.

Обозначим полученные решения через {t, t) и составим матрицу

Ф (t, g = [Фх (t, g, Ф. (t, g,. . Фп{1, to)]-

Нетрудно видеть, что полученная матрица является переходной матрицей, так как в ее столбцах стоят линейно независимые решения н Ф (о, ~ Е. Продолжим аналогию с линейным уравнением Az = Ь. Если Л - обратная матрица для Л, то решение этого уравнения при любом векторе b имеет вид z = А~Ь. Нетрудно убедиться, что если Х(, - произвольный вектор начальных условий, то вектор ф((, о) Хо является решением уравнения x{t) = = A{t)x(t) и, значит, любое решение однородного уравнения выражается через переходную матрицу. Поэтому, изучая свойства переходной матрицы, мы тем самым изучим структурные свойства решений линейного однородного уравнения. В дальнейшем будет показано, что решение неоднородного уравнения тоже можно легко получить, зная переходную матрицу.

Теорема о существовании решения. Заметим, что существование решения уравнения (ЛО) эквивалентно существованию переходной матрицы. Решение этого уравнения не выражается, вообще говоря, в элементарных функциях. Это относится, например, к такому простому на первый взгляд уравнению

f () 4- (а -Ь & sin t) X (t) = 0. Поэтому, чтобы доказать существование решения (ЛО), нам придется построить это решение с помощью некоторой итерационной процедуры и доказать ее сходимость. При этом нам потребуется доказывать сходимость последовательности временных матричных функций. Напомним необходимые понятия.

Определение 3. Последовательность скалярных функций времени (t), х (t),. . . , определенных прн t Ь-х, называется сходящейся, если существует функция X {t), определенпая при i такая, что



при любом фиксированном t из указанного отрезка числовая последовательность {Xj {t)} сходится к х {t). ©

Определение 4. Последовательность функций {xi it)) сходится равномерно при 1 t t, если существует функция X (t) такая, что для любого е О найдется номер N (е) такой, что для всех i Л выполняется неравенство

sup - ж(0К5.

Определение 5. Ряд скалярных функций времени, определенных на отрезке i; является сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Этот ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно. Ряд называется абсолютно сходящимся, если он остается сходящимся в том случае, когда все его ч.тены заменяются абсолютными величинами, ©

Обозначим через {М) ij-ik элемент матрицы Л/.

Определение 6, Последовательность матриц Ml, М, Мз,. . элементы которых есть функции времени, сходится равномерно на отрезке если каждая скалярная последовательность Э(2 (i)i ij (М),. . ., 9ij{Mn). . сходится равномерно, ©

Теорема 3(о существовании решения). Пусть А [t) - Квадратная матрица, элементы которой - непрерывные функции времени, заданные на отрезке t h- Ряд, составленный из матриц М};, к О, 1, 2,. . ., заданных рекурсивно равенствами

М, = Е, Л/, = JA(a)M,-,(o)do, и

сходится равномерно на этом интервале. Если обозначить сумму этого ряда Ф (t, to), то для to ti

Ф (t, to) = А (t) ф (t, to), Ф {to, to) - E,

и решение уравнениях {t) = А {t) х {t), проходящее в момент to через точку Xq, равно ф {t, to) Хд.

Доказательство. Для того чтобы доказать,

что матричный ряд 2 Мс *ходится, необходимо доказать,

Л:=0



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 [ 33 ] 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139