Главная
>
Управление конечномерными объектами начальном условии X (to) = Xq, где Xq - неособенная вещественная матрица. 0 Это свойство можтю принять в качестве определения фундаментальной матрицы. Переходная матрица. Поскольку определитель фундаментальной матрицы X [t) не обращается в нуль ни в одной точке, то при любомТфпксированпомо существует обратная матрица Х~ (;(,)Гп имеет смысл Определение 2. Если X {t) - какая-либо фундаментальная матрт1,а уравнешгя (ЛО), то Ф {t, g = X {t)-x-(t,) для всех to t-, t(t называется переходной матрицей уравнения (ЛО), или переходной матрицей, соответствующей матрице А {t). 0 Непосредственно из определения вытекают след5тощие свойства переходной матрицы: 1. Ф (to, t,) = X {t,) Х- it,) = E. 2. Ф( 1о)\фО ни при каких to t, to t. 3. {t, t,)) = Ф (01 О- Действительно, Ф (;, to) = [X it) (to)]- = [Х~ (to)]- [X (t)]- = = X {to)X~ it) = Ф (to, t). Заметим, что переходная матрица - это такая фундаментальная матрица, которая удовлетворяет начальному условию X {to) = Е. Поэтому согласпо предлон№нию 1 переходную матрицу можно определить как решение матричного дифференциального уравнения Ф {t, to) = А {t) Ф {t, to), Ф {to, to) = E. Рассмотрим один из способов построения переходноймат-рицы. Напомним, что обратную матрицу можно построить, если регппть п систем линейных уравнений Az bl, = ba, . . ., Az = b , где ь; = [1,0,..., 0], ь; = [0,1,..., 0],..., ь; = = [о, о,. . 1], и составить из полученных столбцов решений Zj, Zg,. , ., Ъп матрицу [zj, z,. . .. z ] = Z (см. § 3). Тогда AZ = Е и, значит, Z = А~. Точно таким же способом можно построить переходную матрицу для уравнения (ЛО). Предположим, что решение этого уравнения найдено для следующих начальных условий В момент tff. х[ it,) = [1,0,. . ., 0], х; ((о) = tO,l,. . ., 0],. . ., Xn{to)-= = [0,0,. . И. Обозначим полученные решения через {t, t) и составим матрицу Ф (t, g = [Фх (t, g, Ф. (t, g,. . Фп{1, to)]- Нетрудно видеть, что полученная матрица является переходной матрицей, так как в ее столбцах стоят линейно независимые решения н Ф (о, ~ Е. Продолжим аналогию с линейным уравнением Az = Ь. Если Л - обратная матрица для Л, то решение этого уравнения при любом векторе b имеет вид z = А~Ь. Нетрудно убедиться, что если Х(, - произвольный вектор начальных условий, то вектор ф((, о) Хо является решением уравнения x{t) = = A{t)x(t) и, значит, любое решение однородного уравнения выражается через переходную матрицу. Поэтому, изучая свойства переходной матрицы, мы тем самым изучим структурные свойства решений линейного однородного уравнения. В дальнейшем будет показано, что решение неоднородного уравнения тоже можно легко получить, зная переходную матрицу. Теорема о существовании решения. Заметим, что существование решения уравнения (ЛО) эквивалентно существованию переходной матрицы. Решение этого уравнения не выражается, вообще говоря, в элементарных функциях. Это относится, например, к такому простому на первый взгляд уравнению f () 4- (а -Ь & sin t) X (t) = 0. Поэтому, чтобы доказать существование решения (ЛО), нам придется построить это решение с помощью некоторой итерационной процедуры и доказать ее сходимость. При этом нам потребуется доказывать сходимость последовательности временных матричных функций. Напомним необходимые понятия. Определение 3. Последовательность скалярных функций времени (t), х (t),. . . , определенных прн t Ь-х, называется сходящейся, если существует функция X {t), определенпая при i такая, что при любом фиксированном t из указанного отрезка числовая последовательность {Xj {t)} сходится к х {t). © Определение 4. Последовательность функций {xi it)) сходится равномерно при 1 t t, если существует функция X (t) такая, что для любого е О найдется номер N (е) такой, что для всех i Л выполняется неравенство sup - ж(0К5. Определение 5. Ряд скалярных функций времени, определенных на отрезке i; является сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится. Этот ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно. Ряд называется абсолютно сходящимся, если он остается сходящимся в том случае, когда все его ч.тены заменяются абсолютными величинами, © Обозначим через {М) ij-ik элемент матрицы Л/. Определение 6, Последовательность матриц Ml, М, Мз,. . элементы которых есть функции времени, сходится равномерно на отрезке если каждая скалярная последовательность Э(2 (i)i ij (М),. . ., 9ij{Mn). . сходится равномерно, © Теорема 3(о существовании решения). Пусть А [t) - Квадратная матрица, элементы которой - непрерывные функции времени, заданные на отрезке t h- Ряд, составленный из матриц М};, к О, 1, 2,. . ., заданных рекурсивно равенствами М, = Е, Л/, = JA(a)M,-,(o)do, и сходится равномерно на этом интервале. Если обозначить сумму этого ряда Ф (t, to), то для to ti Ф (t, to) = А (t) ф (t, to), Ф {to, to) - E, и решение уравнениях {t) = А {t) х {t), проходящее в момент to через точку Xq, равно ф {t, to) Хд. Доказательство. Для того чтобы доказать, что матричный ряд 2 Мс *ходится, необходимо доказать, Л:=0
|