ЧТО сходится ряд 2 9ij{Mj;) при всех 1 г, /

Напомним, что ряд иепрорывиых скалярных функций Xi (t) -h (t) -[- -г определенных яц отрезке to i сходится абсолютно п равномерно, если существует последовательность положительных констант таких, что для любого to t справедлива оценка [х (t)\ с,-, а ряд С; сходится (критерий Вепсрштрасса пз анализа). Обозначим максимум элементов А (t) через

т] (t) = max [ uij {t) [.

Пусть далее 7 {t) определена как интеграл от -ц (t):

r(0 = j T](o)t?o.

Если A и В - матрицы размеров п X п, то имеет место очевидное неравенство

15; {АВ) к п max IЭ (Л) max [ Э, {В) .

ij ij

Испо.льзуя это неравенство, легко получим следующую оценку для всех i и / для матрицы ЛД-:

5iИ4( М] -

\ А (аО i А (а)... \ А (а) do .,. йб rfcj

t 01 fc-i

A (61) A {5.,)... .4 {oi;) da,.. . .do, de

<

<

a to

п-ц (GO 11 (5). .. T] (a,) da, ... !!!:VlO

Пос.теднее равенство получено с помощью последовательного применения легко проверяемой формулы

r--i (0)11(0)0 = -.

ири всех 1 i, ] п не больше соответствуюн,его члена ряда

1 + Т(0 + - Н--3]--г

Однако зтот ряд сходится, так как он мо;кет быть записан в виде

1 + щ (t) +

2 it) пЭЗ (i)

- + exp( r(0).

Поэтому каждый элемент нашего матричного ряда тоже сходится, и, следовательно, ряд матриц Mf сходится равномерно и абсолютно. Обозначим сумму этого ряда через Ф (t, to) и вычислим производную по t:

£ f \ Д (ai) d5x + \A (oi) \ A (62) doj di + ...

= A {t) + j (ai) dai + j Л j A (a) rfs doj + ...

Поскольку как дифференцируемый (первоначальный) ряд, так и ряд, получаемый почленным дифференцированием, сходятся равнодгерно, то дифференцирование законно, и мы видим, что Ф (t, to) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению, приведенному в условии теоремы. Остается только показать, что Ф {t, to) х {to) удовлетворяет Уравнению х {t) = А {t) х {t). Ясно, что Ф (to, to) Хо = Хо, поскольку Ф (0, tf,) = Е. Таким образом, предполагаемое решение удовлетворяет нужным начальным условиям. Дифференцирование по времени дает

[Ф{t, to) Хо] Ф(, to)xo A{t)0{t, to)Xo,

отсюда ясно, что Ф {t, to) Хо, действительно, решение.©

Таким образом, каждый член ряда

Ряд Пеаио для переходной матрицы. Формулу

t 1 ai

= £ + j А (Gi) (foi + j Л (Ог) J A (Oa) сгой doi Ч- ..(РП)

полученную при доказательстве теоремы 3, называют рядом Пеано. Эту формулу можно получить формально следующим образом. Пусть х (() = Л it) х (t). Это уравнение равносильпо интегра.тьному уравнению

X (О = X ((о) + J (Oi) X (Oi) tfoi.

Заменяя здесь х (aj) суммой

X (6i) X (о) + J (а) X (Оа) йаз,

будем иметь

( t t

X (О = X (о) + S А (Oj) X (to) doi + 5 л (Oi) J A (Оз) X (Ga) dOg.

Повторяя эту процедуру неограниченное число раз, получим формальное представление решения в виде ряда Пеано,

Рассмотрим два простых следствия теоремы 3. Следствие 1, Если А {t) - скаляр {матрица размером 1 X 1), то ряд Пеаио можно просуммировать и

O{t,to) = ехр J A(G)i6

Следствие 2. Если А - постоянная матрица, то Ф {t, to) = ef- ).

Доказательство. Так как постоянную А можно вынести за знак интеграла, то ряд Пеано в этом случае принимает вид

t i oi

0{t,t) = EJr dGj + J darfGi + . . .

ta la la