После вычис.тения всех интегралов имеем

Ф (/, to) =Е ~hA(t - to) + (/ - fo)V2\ + . . .

. . . + Л (/ - ? )7га! -f . . .

Этот ряд по определению обозначают через е-(-<\ имея в виду его аналогию с рядом экспоненты.

Пример. Рассмотрим уравнение простого осциллятора £ (t) X (t) = 0. Обозначая х- = х п х: получим уравнения движения системы в матричном виде,

Переходная матрица для этой системы удовлетворяет уравнению

Фи {t,io) Ф1а((,

при начальном условии Ф {to, to) = Е.

Ряд для вычисления Ф (/, t) в этом примере легко суммируется потому, что А - постоянная и, кроме того,

А = (-1) 2 А для i нечетных и Л = {-1)Е для i > 2 четных. Простое вычисление показывает, что

(Tttf f \ - \ COS - io) sin {t - uy

Задачи. 1. Напти переходную матрицу для

A{t) =

О 1 О t

A{t) =

-1 е О -1

2. Пусть А - постоянная матрица. Найдите переходную матрицу Ф(*, 0) для нестацнонарной линейной системы

i(.{t) = fit)AK(ty

где / (t) - непрерывная функция времени.

3. Найдите переходную матрицу для системы

- xi (О

- ег- ге ,-( . -t

4. Пусть А - постоянная матрица размером 2 X 2 и пусть X {t) - Ах {i). Известно, что если х(0) - [i, -3], то x{t) = {е~*, -Зе- ]. и если х(0) = [1, 1], то x{f) ~ [е. e]. Определите переходную матрицу системы н матрицу А.

5. Пусть А - постоянная матрнца 2 X 2 и пусть х (/) - Ax{i). Известно, что если х{0) = (1, 1], то x{i) = [е (2т t-}-cost),

(cos f - 3 sin t)\. и если x{0) - fl, -2], то %(t) ~ fe {cos t - - sin t), -2 cos ({ )]. Определите переходную матрицу системы и матрицу А.

6. Покажите, что несингулярная квадратная матрица Ф (. ), зависящая от двух аргументов и дифференцируемая по каждому нз них, является переходной матрицей, если Ф [t, tg) = Е н матртща

Ф((, (о)ф [t, to)

зависит только от t,

7. Является ли множество решений уравнения .t (t) -\- х [t) = - J, О С * линейным векторным пространством?

§ 10. Свойства переходной матрицы. Формула Кошн

Продолжим изучение свойств переходной матрицы.

Формула Остроградского - Лнувилля. Напомним следующее определение. Следом квадратной матрицы называется сумма ее диагональных элементов

5р(Л) = след (Л) - It {А) - 2

След матрицы А {t) и определитель переходной матрицы связаны удивительной формулой.

Теорема 1. (Остроградского - Лиувилля). Если. Ф (, /р) - переходная матрица системы х (t) = = А (t) X (t), то

det Ф {t, to) = ехр J tr Л (о) do

(0Л)

Доказательство. Если обозначить через А-, алгебраическое дополнение t/-ro элемента матрицы Ф, то но свойству 8 определителя (см- § 3) для любого ; справедливо равенство

detФ = 2 Aif>ij. Так как Л,-у по определению от Ф,-; не зависит, то

[det0J = Ду.

Вычислим теперь полную производную по времени от det Ф:

-1 det Ф = Г det Ф о)

dt . .

г=1 ji

п п

Обозначим через Ф* [t, to) присоединенную матрицу для матрицы Ф {t, to). Напомним, что для построения присоединенной матрицы необходимо каждый элемент исходной матрицы заменить его алгебраическим дополнением и полученную матрицу транспонировать. Основное свойство присоединенной матрицы выражается равенством (см. § 3)

Ф* {t, g-Ф {t, to) = det Ф {t, to)-E. Воспользовавшись этим обозначением и замечая, что

п п

S S л-Ф{1, to) = 1г [Ф( to)0{t, to)].

получим

detФ(gtгIф ( to)0{t,to)].

Вспоминая, что Ф {t, t) A {t) Ф {t, t), tr (ABC) = = tr (BCA), имеем

det Ф ((, to) = tr [Ф (f, to) A (t) Ф {t, to)] =

= tr [Ф- (t, to)Q (t, to) A (t)] = tr [dei Ф (t, t,) EA {t)\ =

= detФ( to) tr[A(Ol.

Интегрирование этого равенства с учетом условия Ф {to, to) = Е дает формулу (ОЛ). О

Правило композиции. Важное свойство переходной матрицы заключается в том, что она удовлетворяет следующему функциональному уравнеяпю:

Ф {t, to) = Ф {t, t,)il> {t to). (ПК)