Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

В стационарном случае Ф {t, t) - eJ и эта формула имеет вид

X (t) = еС-Хо -Ь eMt-o)f (о) do. Q и

Заметим, что единственность решения (ФК) доказывается немедленно. Если х (if) и у (t) - два решения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, то

X (t) - у (О = л (t) [х {t) ~ у (01; X {Q - у (д = 0.

А мы доказывали уже (теорема 1 § 9), что в этом случае X (О - У (О = О и, значит, X (О = у (t). *

Пример 1. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение

X = f (О, X (0) = х, X (0) = Хо,

которое можно представить в виде системы двух уравнений

Вычисление переходной матрицы немедленно дает

1 г

э:1 [ty

f) Г

>1

0

.2 it)

Ф(0) - е

О 1

I Используя формулу Коши, получим общее решение системы

3-1 (0)+ iX2{0)

1 J- f

(- а

/(a)rfa,

;r (О = X (0) + tx (0) ~ f - о) / (а) (?сз. О

Сопряжеииое уравнение. При исследовании линейных преобразований в евклидовых пространствах мы определили сопряженное преобразование, связанное с данным преобразованием как преобразование, которое обеспе-чивает равенство скалярных произведений <у, L {х)у и <х, L* (у)> (см. § 8). Определение сопряженного уравнения для линейного дифференциального уравнения



(t, gj Ф (t, t,) + ф-> {t, t,) Ф [t, io) =

~ (Ф-1 {t, to)) -b [t, to) A it)] Ф {t, to).

основано на тех же соображениях. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение определено в евклидовом пространстве. Линейное однородное дифференциальное уравнение для вектора р [t), принадлежащего тому же евклидову пространству, является уравнением, сопряженным уравнению для х (t), если при любых начальных значениях скалярное произведение решения х (t) и решения р [t) постоянно.

Теорема 4. Сопряженное уравнение, соответствующее уравнению х (t) = А {t) х (t), имеет вид Pit) = -А it) Pit).

Доказательство. Вектор р it) является сопряженным вектору X it) тогда н только тогда, когда

(х, р> = (р, х> = const или рх = const. Дифференцируя скалярное произведение <р, х>, получим

4t fp (О (т = р (О (О+(О (О =

- [р (О А (О X (t) - р (О А (О \{t)] =

p{t)[Ait)-Ait)]x(t) = O.Q

Вариационные задачи, общая теория двухточечной граничной задачи, существование и единственность периодических решений - исследование всех этих вопросов связано с исследованием свойств сопряженных уравнений.

Основное свойство сопряженного уравнения заключается в том, что оно представляет решение исходного дифференциального уравнения в обратном времени. Это показывает следующая

Теорема 5. Если Ф it, tg) - переходная матрица для к (t) - А {t) X {t), тогда Ф (t, t) будет переходной матрицей для сопряженной системы р(0 = -А{t)pit).

Доказательство. Продифференцируем равенство Ф~ it, t) Ф it, о) ~ по времени:



Поскольку матрица Ф {t, t(,) - неособенная, имеем d

Используя свойство переходной матрицы ф- (/, tg) = = Ф (0, t), получим

{Ф{to,t)У ~A{t)Ф{to,t).0

Дифференциальное уравнение к (t) = А (t) х {t) называется самосопряженным, если для всех t имеет место равенство А (t) = - А (t). Такие системы очень важны при изучении проблем механики. Гармонический осциллятор - наиболее простой пример самосопряженного уравнения

0

х2 (0.

Переходная матрица самосопряженной системы обладает замечательным свойством. Она является ортогональной матрицей.

Теорема 6. Если Ф - переходная матрица самосопряженной системы, то Ф (t, t) Ф {t, t) = Е для всех t и iff.

Доказательство. Чтобы проверить ортогональность Ф {t, to) в случае, когда система х (t) ~ = А (t) X {t) - самосопряженная, заметим, что поскольку А {t) = ~ А {i), то

[Ф (Л h) Ф {t, to)] = Ф {t, to) [А (t) + А {t)] Ф {t, to) = 0.

Значит, Ф {t, to) Ф {t, to) = coHsl, uo no определению переходной матрицы Ф {to, to) - E, следовательно,

Ф (0. o) Ф (0, o) = E,

и требуемый результат получается сразу. О

Стационарный случай. В случае, когда А - постоянная матрица, бесконечный ряд для переходной матрицы



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139