Главная
>
Управление конечномерными объектами В стационарном случае Ф {t, t) - eJ и эта формула имеет вид X (t) = еС-Хо -Ь eMt-o)f (о) do. Q и Заметим, что единственность решения (ФК) доказывается немедленно. Если х (if) и у (t) - два решения, удовлетворяющие одним и тем же начальным условиям, то X (t) - у (О = л (t) [х {t) ~ у (01; X {Q - у (д = 0. А мы доказывали уже (теорема 1 § 9), что в этом случае X (О - У (О = О и, значит, X (О = у (t). * Пример 1. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение X = f (О, X (0) = х, X (0) = Хо, которое можно представить в виде системы двух уравнений Вычисление переходной матрицы немедленно дает 1 г
Ф(0) - е О 1 I Используя формулу Коши, получим общее решение системы 3-1 (0)+ iX2{0)
/(a)rfa, ;r (О = X (0) + tx (0) ~ f - о) / (а) (?сз. О Сопряжеииое уравнение. При исследовании линейных преобразований в евклидовых пространствах мы определили сопряженное преобразование, связанное с данным преобразованием как преобразование, которое обеспе-чивает равенство скалярных произведений <у, L {х)у и <х, L* (у)> (см. § 8). Определение сопряженного уравнения для линейного дифференциального уравнения (t, gj Ф (t, t,) + ф-> {t, t,) Ф [t, io) = ~ (Ф-1 {t, to)) -b [t, to) A it)] Ф {t, to). основано на тех же соображениях. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение определено в евклидовом пространстве. Линейное однородное дифференциальное уравнение для вектора р [t), принадлежащего тому же евклидову пространству, является уравнением, сопряженным уравнению для х (t), если при любых начальных значениях скалярное произведение решения х (t) и решения р [t) постоянно. Теорема 4. Сопряженное уравнение, соответствующее уравнению х (t) = А {t) х (t), имеет вид Pit) = -А it) Pit). Доказательство. Вектор р it) является сопряженным вектору X it) тогда н только тогда, когда (х, р> = (р, х> = const или рх = const. Дифференцируя скалярное произведение <р, х>, получим 4t fp (О (т = р (О (О+(О (О = - [р (О А (О X (t) - р (О А (О \{t)] = p{t)[Ait)-Ait)]x(t) = O.Q Вариационные задачи, общая теория двухточечной граничной задачи, существование и единственность периодических решений - исследование всех этих вопросов связано с исследованием свойств сопряженных уравнений. Основное свойство сопряженного уравнения заключается в том, что оно представляет решение исходного дифференциального уравнения в обратном времени. Это показывает следующая Теорема 5. Если Ф it, tg) - переходная матрица для к (t) - А {t) X {t), тогда Ф (t, t) будет переходной матрицей для сопряженной системы р(0 = -А{t)pit). Доказательство. Продифференцируем равенство Ф~ it, t) Ф it, о) ~ по времени: Поскольку матрица Ф {t, t(,) - неособенная, имеем d Используя свойство переходной матрицы ф- (/, tg) = = Ф (0, t), получим {Ф{to,t)У ~A{t)Ф{to,t).0 Дифференциальное уравнение к (t) = А (t) х {t) называется самосопряженным, если для всех t имеет место равенство А (t) = - А (t). Такие системы очень важны при изучении проблем механики. Гармонический осциллятор - наиболее простой пример самосопряженного уравнения
Переходная матрица самосопряженной системы обладает замечательным свойством. Она является ортогональной матрицей. Теорема 6. Если Ф - переходная матрица самосопряженной системы, то Ф (t, t) Ф {t, t) = Е для всех t и iff. Доказательство. Чтобы проверить ортогональность Ф {t, to) в случае, когда система х (t) ~ = А (t) X {t) - самосопряженная, заметим, что поскольку А {t) = ~ А {i), то [Ф (Л h) Ф {t, to)] = Ф {t, to) [А (t) + А {t)] Ф {t, to) = 0. Значит, Ф {t, to) Ф {t, to) = coHsl, uo no определению переходной матрицы Ф {to, to) - E, следовательно, Ф (0. o) Ф (0, o) = E, и требуемый результат получается сразу. О Стационарный случай. В случае, когда А - постоянная матрица, бесконечный ряд для переходной матрицы
|