Это свойство очевидно следует из определения е.

2. Если Р - какая-то неособенная квадратная матрица, то

еР = р-еР, Действительно, по определению имеем gP-AP £ р-1АР -Ь [Р-ЛРр/2! -h . . . = Р~ЧЕ Н-

+ А-\-А12\ . . .]Р.

3. Справедливо правило

Тем не менее, вообще говоря, неверно, что ее ~- й. Это равенство выполняется лпшь в том случае, если матрицы А ш В перестановочны, т. е. АВ = ВА.

Это сразу следует из доказанных в § 2 формул

[А -h ВУ = {А + В), (Ау = [Ау.

5. Дифференцирование матричной экспоненты по времени осуществляется по обычному правилу дифференцирования экспоненты

4(.-) = 4.( + ж + +...)

= А + АЧ + .. - - Ае- = еА.

Принимает вид

Ф(0 = -Ё + ( -o)-M- o)V2! т- . . .=eMt-h).

Из следствия 2 теоремы существования следует, что этот ряд абсолютно сходится для любой вещественной квадратной матрицы А.

Заметим, что несмотря на внешнюю простоту выражения для переходной матрицы в стационарной системе, вычисление функции е может оказаться сложной задачей.

Рассмотрим ряд полезных свойств матричной экспоненты.

1. Если А - диагональная матрица,

г an...О т ге О п

то е-*

Последнее равенство справедливо в силу того, что квадратная матрица коммутирует с любым своим многочленом.

Перечень свойств переходной матрицы. Здесь будет приведена сводка всех доказанных свойств переходной матрицы. О значении этого понятия в различных вопросах теории линейных систем свидетельствует число терминов, используемых для обозначения матрицы Ф {t, to). Вот некоторые из них: матрицант [13], нормированная фундаментальная матрица [38], матрица ] рина, матрица Коши [19], нормированная интегральная матрица, резольвентное ядро [25], фундаментальная матрица [27].

Замечание. Выше все элементы матрицы А (t) уравнения х (t) ~ А {t) х {t) были заданы н непрерывны в отрезке i- Пасто, однако, приходится иметь

дело с областью определения в виде открытого интервала 0 < < причем чаш,е всего этот интервал может быть не ограничен с одной стороны или с обеих сторон. Если интервал <; <; ограничен, то доказанные теоремы будут верны для любого конечного отрезка в i

1 - е, где е - как угодно малое положительное число, и значит, в атом смысле они будут справедливы для всего интервала <it Kit. В случае бесконечного интервала - оо <; <; -- оо, теоремы § 10 справедливы д.ля любого конечного интервала ~ Л/ i Л/, как бы велико ни было число М, и в этом смысле они будут справедливы для всего интервала (-00,4-00). Все перечисляемые ниже свойства переходной матрицы выполняются при любых to, t, нринадлежаш,их области определения матрицы А (t). G

Итак, для уравнения х (t) = А (t) х {t), х (to) = Хд существует и единственна матрица Ф (t, i ) такая, что решение можно записать в виде х ( = Ф {t, t) Хд. Эта матрица обладает следующими свойствами;

1. Ф {to, to) = Е при любом to.

2 Ф (t, to) = Ф {t, ti) Ф {ti, to) при любых t, t, to-

3. det Ф {t, to) Ф 0 при любых {t, to).

4. Ф {t, to) = X {t)X- {t), где X {t) - любая фундаментальная матрица уравнения (ЛО).

5. Ф -t, to) = Ф (to, t).

6. Матрица Ф (t, to) удовлетворяет уравнению

Ф {t, to) = А {t)Ф (t, to), Ф {to, to) = E.

7. Матрица Ф {t, t) удовлетворяет сопряженному уравнению

Ф (0, t) = -A (t) Ф (to, t), Ф (to, g = E. t

8. с1е1Ф(;, g = exp tTA{a)do

9. При преобразовании координат z (t) ~ P (t) x (t) переходная матрнца Фа {i, o) системы x (t) = Л (t) x (t) преобразуется no формуле

Фл o) = P (i) Ф[рар-..рр-.1 P (o).

Свойства 1-9 выполнены при любых t. He обязательно, чтобы 0 <; t\

В стационарном случае имеют место свойства:

10. Ф (t Ч- 1, to) = Ф о) Ф ih, to)-

11. Ф (t, Q = eCW = ег e-\

Из последнего свойства, в частности, следует, что в стационарном случае достаточно вычислить матрицу Ф {t, to) при значении t = О, т. е. вычисить е-К Чтобы получить переходную матрицу Ф (t, to), достаточно заменить t разностью {t - to). Стационарная система не меняет своих свойств при сдвиге времени.

Способы построения переходной матрицы. 1. Если каким-либо способом найдено общее решение дифференциального уравнения, то, чтобы получить переходную матрицу, достаточно вычислить столбцы решений при следующих начальных условиях: = [1, О, . . 0], 4 - [О, 1, . . , 01, . . ., х1 = [О, О, . . ., 11.

2. Переходную матрицу можно получить с помощью моделирования уравнения х (t) = А (t) х (t) иа электронной или другой модели. Это соответствует экспериментальному осуществлению способа 1. Действительно, поставим на модели начальные условия: Xi = 1, xl = = 0, . . ., д; = 0. Тогда на выходах интеграторов мы получим функции Фц(0, Фз1 (О м Фп1 (t), которые являются элементами первого столбца переходной матрицы. Продолжая эксперимент для начальных условий - = 0, х = 1, . . Хп = О, получим элементы второго столбца переходной матрицы и т. д. Заметим, что метод