Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

моделирования является общим. Он работает в тех случаях, когда другие методы не дают результата.

3. Переходную матрицу можно строить, суммируя ряд, полученный при доказательстве теоремы 3 § 9. В стационарном случае этот метод часто приводит к требуемому результату.

4. Переходную матрицу моншо вычислять, интегрируя одно из матричных уравнений (свойства 6 и 7 переходной матрицы). Этот метод удобен при вычислении переходной матрицы на ЭВМ. Часто более удобным оказывается интегрирование сопряженного уравнения (свойство 7) в обратном времени. О

Прн построении переходной матрнцы следует использовать хорошо развитые методы решения систем дифференциальных уравнений. Известно, что в стационарном случае переходную матрицу можно построить в замкнутой форме с помощью элементарных функций.

5. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений широко используется аппарат преобразования Лапласа. Этот аппарат можно непосредственно использовать для вычисления переходной матрицы следующим образом. Обозначим через X (х {t)) = х (/?) преобразование Лапласа функции х {t). Тогда из теории этого преобразования известно, что если х {t) дифференцируема, то

X (х (0) рХ (X (0) - Хо - рх {р) - Хо, где Хо = х (0). Рассмотрим стационарную однородную систему

x(t) = x(0, х(0)= Хо, и ее преобразование Лапласа

рх(р) - Хо = Лх(р).

Тогда

рх(р) - Лх(р) = Хо, или \рЕ~ А]х{р) Хо.

Слева стоит характеристическая матрица матрнцы А, Которая является неособенной при всех р ф Я,;, где Я,; - характеристические числа матрицы А. Значит, выраже-Вие X (jp) = \рЕ - АУ Хр имеет смысл при всех р Ф Х. ;,Взяв обратное преобразование, найдем

х(0 - [х{р)] - {[рЕ - Аух,) = е%.



Последовательность вычислений такова:

1. Вычислить элементы обратной матрицы [рЕ -

2. С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа найти элементы переходной матрицы

еА( = Х {{рЕ ~ ЛГ\. О

Пример 2. Пусть

О 3-[pE~~AГ =

[рЕ-А\ =

р ~3 - 5 р~2

L [р + 3) {/7 - 5) (р + 3) {/> ~ 5)

Пользуясь таблицей обратного преобразования Лапласа, получим

.,-3/,

Пример 3. Для системы

0 1

Ж1 (0

.0 0

.2 (0,

переходную матрицу проще всего вычислить, воспользовавшись формулой Ф (t, 0) = Ряд экспоненты в этом случае имеет только два ненулевых члена е = Е -\- At; так как А = О при р > 2, имеем

Ф{t,0) =

1 О .0 1-

о f о о

Пример 4. Пусть уравнения системы имеют вид

-п (()

.H(t)

au О О О ага О О О яя

xi щ-

хч. (f)

.3 it)

Столбцы переходной матрицы получим, решая эти уравнения при начальных условиях Щх = о, 0], Xq



= [0, 1, 0], Хс, = 10, О, 1]:

е О О ф 0) О О

О О с .

Пример 5. Рассмотрим нестационарную систему 1

x{t)

х(0, >0.

(2 t

Одна нз фундаментальных матриц этой системы имеет вид

t о-

Вычислим

,3 л

и переходную матрицу

Ф{(,1о)===Х{ЦХ-{)

(2 f3

Задачи. 1. Покажите, что для системы i (t) - (j (()-f--f- A{t))x (t), где {t) - диагональная матрица, a элементы матрицы A2 it) неотрицательны при всех tt , каждый элемент соответствующей переходной матрицы Ф (t, t) неотрицателен.

2. Покажите, что если х (t) и z (t) - два решения дифференциального ураввения предыдущей задачи и если xi (t) zi (to) при всех i, то ц (t) > zj (t) при всех / и при всех t tg.

3. Используя равелство е-е = g-it+f ) при А -

- 1 О

покажите, что

sin (t-f- to) = cos t sin tff -f- sin (cos tg. 4. Найдите переходную матрицу для

а) АЦ) =

О -

- *з i

, />0, б) Л(0-

о г



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139