Главная
>
Управление конечномерными объектами моделирования является общим. Он работает в тех случаях, когда другие методы не дают результата. 3. Переходную матрицу можно строить, суммируя ряд, полученный при доказательстве теоремы 3 § 9. В стационарном случае этот метод часто приводит к требуемому результату. 4. Переходную матрицу моншо вычислять, интегрируя одно из матричных уравнений (свойства 6 и 7 переходной матрицы). Этот метод удобен при вычислении переходной матрицы на ЭВМ. Часто более удобным оказывается интегрирование сопряженного уравнения (свойство 7) в обратном времени. О Прн построении переходной матрнцы следует использовать хорошо развитые методы решения систем дифференциальных уравнений. Известно, что в стационарном случае переходную матрицу можно построить в замкнутой форме с помощью элементарных функций. 5. Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений широко используется аппарат преобразования Лапласа. Этот аппарат можно непосредственно использовать для вычисления переходной матрицы следующим образом. Обозначим через X (х {t)) = х (/?) преобразование Лапласа функции х {t). Тогда из теории этого преобразования известно, что если х {t) дифференцируема, то X (х (0) рХ (X (0) - Хо - рх {р) - Хо, где Хо = х (0). Рассмотрим стационарную однородную систему x(t) = x(0, х(0)= Хо, и ее преобразование Лапласа рх(р) - Хо = Лх(р). Тогда рх(р) - Лх(р) = Хо, или \рЕ~ А]х{р) Хо. Слева стоит характеристическая матрица матрнцы А, Которая является неособенной при всех р ф Я,;, где Я,; - характеристические числа матрицы А. Значит, выраже-Вие X (jp) = \рЕ - АУ Хр имеет смысл при всех р Ф Х. ;,Взяв обратное преобразование, найдем х(0 - [х{р)] - {[рЕ - Аух,) = е%. Последовательность вычислений такова: 1. Вычислить элементы обратной матрицы [рЕ - 2. С помощью таблиц обратного преобразования Лапласа найти элементы переходной матрицы еА( = Х {{рЕ ~ ЛГ\. О Пример 2. Пусть О 3-[pE~~AГ = [рЕ-А\ = р ~3 - 5 р~2 L [р + 3) {/7 - 5) (р + 3) {/> ~ 5) Пользуясь таблицей обратного преобразования Лапласа, получим .,-3/, Пример 3. Для системы
переходную матрицу проще всего вычислить, воспользовавшись формулой Ф (t, 0) = Ряд экспоненты в этом случае имеет только два ненулевых члена е = Е -\- At; так как А = О при р > 2, имеем Ф{t,0) = 1 О .0 1- о f о о Пример 4. Пусть уравнения системы имеют вид
au О О О ага О О О яя
Столбцы переходной матрицы получим, решая эти уравнения при начальных условиях Щх = о, 0], Xq = [0, 1, 0], Хс, = 10, О, 1]: е О О ф 0) О О О О с . Пример 5. Рассмотрим нестационарную систему 1 x{t) х(0, >0. (2 t Одна нз фундаментальных матриц этой системы имеет вид t о- Вычислим ,3 л и переходную матрицу Ф{(,1о)===Х{ЦХ-{) (2 f3 Задачи. 1. Покажите, что для системы i (t) - (j (()-f--f- A{t))x (t), где {t) - диагональная матрица, a элементы матрицы A2 it) неотрицательны при всех tt , каждый элемент соответствующей переходной матрицы Ф (t, t) неотрицателен. 2. Покажите, что если х (t) и z (t) - два решения дифференциального ураввения предыдущей задачи и если xi (t) zi (to) при всех i, то ц (t) > zj (t) при всех / и при всех t tg. 3. Используя равелство е-е = g-it+f ) при А - - 1 О покажите, что sin (t-f- to) = cos t sin tff -f- sin (cos tg. 4. Найдите переходную матрицу для а) АЦ) = О - - *з i , />0, б) Л(0- о г
|