Аксиома Архимеда. Каково бы ни было число а, существует целое число п такое, что /> а.

Аксиома непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит всем отрезкам данной cjicxe-мы. о

Напомним, что система числовых отрезков \а-, б], [ 2, Ь, . . ., 61, . . . называется системой вложенных отрезков, если

Обратите внимание, что многие факты линейной алгебры справедливы не только для поля вещественных чисел, но и вообще для любых полей, или даже для любых (как правило, коммутативных) колец.

Задачи. 1. Составляют ли кольцо числа вида о 4 6 V 2 (а и 6 целые)? Является ли это множество полем?

2. Содержит ли делителя нуля кольцо многочленов степени ие выше

3. Является ли множество целых чисел, кратных данному числу п > О, с обычными операциями слошеиия и умножения кольцом? полем?

4. Докажите, что множество пар целых чисел (т, п) с операциями, заданными равенствами {т, п) -f- {т, щ) = ~{- щ, -\-

(jKj., n) (nig, Kg) = (mjjKg, reng), является кольцом. Укажите делители нуля в этом кольце.

5. Образуют ли кольцо всевозможные полиномы вида oq -\-п

2 ffs тх, где - действительные числа? т=1

6. Покажите, что в кольце с единицей коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом кольца,

7. Докажите, что ко тутагивное кольцо с конечным числом элементов, не содержащее делителей нуля, в котором имеется более одного элемента, является полем.

§ 2. Матрицы и действия над ними

Обозначения н терминология. Система элементов множества К, расположенная в виде прямоугольной таблицы, содержащей т строк и п столбцов, называется матрицей над К. В качестве множества К мы будем рассматривать некоторое кольцо. Элементы множества К мы будем называть числами и обозначать либо малыми греческими буквами а, &, у, . либо малыми латинскими буквами

С,... Обычная запись прямоугольной матрицы:

а 12 Ига

/ 11

где cCfj - обозначение элементов из К. Иногда используют сокращенную запись aj , {{a.jrnn, \-tj\, iij\mn-Мы будем использовать для записи матриц квадратные скобки.

При обозначении элемента матрицы aij первый индекс Юсегда будет обозначать номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс будет соответствовать Шмеру столбца.

Если число строк равно числу столбцов матрицы = п, то матрица называется квадратной, а число т ~ порядком.

Матрицу, состоящую из одного столбца, называют то столбцом или вектором-столбцом. а матрицу, .эМгстоящую из одной строки, - строкой или вектором-строкой. Число элементов в строке называют длиной строки.

Матрицы мы будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ... Для обозначения столбцов h, строк будем использовать малые латинские буквы S. Ь, . . ., X, . . .

Две матрицы называют равными, если у них равны тветственно числа строк и столбцов и если равны все менты, стоящие на соответственных местах этих матриц. Матрица, все элементы которой равны нулю, назы-ея нулевой матрицей и обозначается 0. Если желают азать число строк и столбцов в нулевой матрице, то Ут 0, [01 .

Квадратную матрицу, у которой все элементы, распо-енные вне главной диагонали, равны нулю (элементы, положенные на главной диагонали, имеют одинаковые

индексы i = }), называют диагональной:

аи О .. . li

О 22 . .. О

diag [ац, 22 --ч nn] =

О о

Сложение и умножение. Для матриц с элементами из кольца, имеющих одинаковые размеры, естественным образом определяют сложение. Суммой таких матриц А а В называют матрицу С, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

Cjj = (Zjj -}- bij.

Из определения суммы матриц непосредственно следует, что

А -\- В = В А, А {В С) {Л -\- В) С.

Кроме того, поскольку элементы матриц являк>тся элементами кольца, то имеет место свойство, аналогичное свойству 3 определения кольца: каждое матричное уравнение А X = В имеет единственное решепио.

Свойства операции сложения естественным образом распространяются на случай любого числа слагаемых.

Определение 1. Пусть заданы две матрицы А = [uijjn п В ~ I&ijIrp, причем число столбцов первой из них равно числу строк второй. Тогда матрица С, составленная из элементов

ft=i

называется произведением А на В и обозначается АВ.( Согласно этому определению эле.ченг матрицы произведения С, стоящий в i-й строке и в ;~м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-a строки матрицы А и /-Г0 столбца матрицы В. Например, при умножении матриц

ill Cia

Csi Сза fsa

элемент сз, стоящий в первой строке и в третьем столбце матрицы результата, будет равен сумме произведений соответственных элементов 1-й строки матрицы А и 3-го