где А - постоянная неособенная матрица.

10. Решение одномерного уравнении диффузии

dz (t, х) dz (t, х)

с граничными условиями z (t, 0) = 2 (t, 1) = О имеет вид z (t, z) =

~ Уп (О sin 2лпх. Выпишите бесконечномерную систему диффе-

ренциальных уравнений для функций у (t). Найдите соответствующую переходную матрипу.

11. Пусть граничные условия уравнения ±(t) = A (t)x(t) заданы частично при t = th частично при t = tn пусть эти не полностью заданные векторы граничных условий х (t), х {tj) связаны уравнением

Fx{to)-{-Gx (fi) = g.

Каким условиям должны удовлетворять матрицы F и С, чтобы существовало единственное решение дифференциального уравнения? Вычислите вектор начальных условий для этого решения.

12. Покажите, что в первом приближении по е

det [Е + sA (t)] = £ 4- е tr Л (t),

Фи+ е, = ф (t, h) + рА {t)0 (t, g.

Исиользуя эти факты, докажите теорему 1.

5. Пусть отображение [to, (j] -* С [t, задано формулой

у (()=] Ф(г, a)f(6)da,

где Ф (t, 0) - переходная матрица. Вычислите сопрнжеиное преобразование.

6. Покажите, что если А (t) = - A{ - t) для всех t, то матрица Ф (t, (о) и матрица Ф (о. t) имеют одни и те ше собственные числа.

7. Вычислите переходную матрицу системы

к (t) = е-Вех(0.

где А н В - постоянные матрицы.

8. Пусть

у (t) = aeb = 2 sin 2лйг -f- cos 2кк1).

Найдите соответствующие векторы a, b и матрицу A.

9. Покажите, что

13. Согласно данному определению самосопряженного дифференциального уравнения, его матрица должна удовлетворять условию A{t) = ~A{t). Если для матрицы A(t) это условие не выполняется, то оно, вообще говори, может быть выполнено для матрицы Р~А (t)P, где \ Р {ф 0. Каким необюдмшм и достаточным условиям должна удовлетворять матрица А {£), чтобы

A(t)P] - [P~A{t)py?

14. Найдите линейное нестационарное дифференциальное уравнение, переходная матрица которого имеет следующие элементы;

а) Фц (г, (о) - 0,2

Ф21 (t, to) = 0,4 [( o)* - 5г2], Ф2.(М=0,2Г(-)%4(-у)

б) Фп( to) Ф13 ((, Щ Ф21 (t, to) Фаз (t. to)

= 7: 1 + Ь

1 , io

tn t

§ 11. Линейные системы

с периодическими коэффициентами

В приложениях линейные периодические уравнения часто возникают при линеаризации нелинейных систем в окрестности их периодических решений.

Периодические линейные уравнения являются простейшим и довольно хорошо изученным классом нестационарных уравнений.

Однако в отличие от стационарного случая даже здесь получить явное решение не всегда возможно. Вместе с тем периодичность матрицы А {t) влечет за собой некоторые структурные свойства переходной матрицы, и иа этом мы остановимся подробнее.

Функцию f{t), определенную на всей числовой оси, назовем периодической с периодом Г, если f {t Т) = ~ f (t) для всех t. Согласно этому определению любая постоянная величина (даже 0) является периодической функцией. Ясно, что всякая функция периода Т является периодической с периодом 2Г, ЗГ и т. д. Поэтому период определяется неоднозначно. Если мы в дальнейшем говорим о периоде, то имеем в виду какой-нибудь период.

Рассмотрим периодическую однородную систему

x{t) А (О X (О, А (t- Т) = А (t). (ЛПО)

Пусть Ф (t, to) - переходная матрица этой системы. Заметим, что периодичность матрицы А (t) влечет за собой периодичность переходной матрицы Ф (/ + Г, /{, + Г) = - Ф {t, to). Это, например, сразу следует из дифференциального уравнения

Ф (t, Q - Л (О Ф (t, h), Ф (to. h) = Ё.

Преобразование Ляпунова. Приводимые системы.

Уравнение (ЛПО) принадлежит, как будет показано ниже, к таким нестационарным уравнениям, которые можно с помощью невырожденного линейного преобразования Z (t) = L {t)x (t) свести к стационарному уравнению z{t)=Bz{t). Этот класс нестационарных уравнений очень важен для приложений. Например, исследование устойчивости для таких систем иногда можно свести к исследованию устойчивости стационарной системы. Рассмотрим необходимые и достаточные условия приводимости системы X (t) = А (t) x{t) к стационарной системе.

Определение 1. Преобразование z (t) ~ L (t) х (t) называется преобразованием Ляпунова, L [t) называется матрицей Ляпунова, если выполнены следующие условия:

1. L [t) я L (t) ограничены на интервале [t, оо],

2. Существует постоянная величина т такая, что О <; m I det L (t) для всех t е [t, оо]. Q

Постоянная неособенная матрица L является, очевяд-но, матрицей Ляпунова. Если Л - постоянная матрица с вещественными характеристическими числами, то е и е~ будут, как легко видеть, матрицами Ляпунова.

Определение 2. Однородная линейная система X. (t) = А (t) X (t) называется приводимой, если с помощью преобразования Ляпунова она может быть преобразована в линейную систему z (t) = Bz {t), где В - постоянная матрица. О

Приведем необходимые н достаточные условия приводимости линейной нестационарной системы.

Теорема Еругина. Теорема 1. Линейная система X {t) ~ А {t)x [t) приводима тогда и только тогда, когда ее переходная матрица представима в виде

Ф [t, to) - L (t) ехр [В {t - to)] L (to), где L (t) - матрица Ляпунова, В - постоянная матрица.