Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

Необходимость. Пусть рассматриваемая система приводима и существует матрица Ляпунова L (t) такая, что уравнение системы относительно новой неременной Z {t) (t) X (t) имеет вид z (t) = Bz (t). Переходная матрица этого уравнения ехр [В (t - t)], и значит,

X (t) = L{t)x {t) = L{t) еС-М z {Q =

Достаточность. Пусть переходная матрица системы .v (t) Л (t) X (t) представима в виде, указанном в условии теоремы. Непосредственной проверкой убедимся, что преобразование координат z (t) = (t) x [t), где L- (t) = ee-f L- Ф {t, t), приводит к стационарной системе. Действительно,

Z (t) = [L- (t) L (t) 4- L- (t) A {t)L (Olz (0 -= {{BL- (0 - L- {t)A it)] L (t) -f-

L~ {t)A {t)L{t)}z{t) = Bz (/). Первую строку мы записали на основании результата


Рис. 11.1.

теоремы 2 § 10. Вторая получена после вычисления производной (t). При этом мы воспользовались формулами d

Теорема Еругина иллюстрируется коммутативной диаграммой, представленной на рис. 11.1.

Пример 1. Пусть X {t) = е Ве- х (t). Рассмотрим замену z {t) = е-* х (t) Р {t) х (t). Тогда преоб-

5 Ю Н Андреев



130 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. И

разованная матрица системы Л согласно теореме 3 § 10 примет вид

А = РАР~ + РР- = e-eSe-e - Ае-Ч = В - Л.

Значит, i (О = (В ~ A)z{t) и z (t) =- gCB-AXf- (). Отсюда сразу получим искомую декомпозицию переходной матрицы, о которой говорится в теореме Еругина:

x{t) = P{t)x{t) = ee(S-A)((-Wz(io) eAig(B-A)<(-We-A(x(;p).

Теорема Ляпунова - Флоке. Вернемся к периодической однородной системе (ЛПО). Приводимость такой системы следует из доказанной теоремы. Достаточно определить постоянную матрицу В формулой Ф (Г, 0) = = ехр (ВТ). Такая матрица В всегда существует, так как переходная матрица Ф (Г, 0) - неособенная, а любая неособенная матрица С может быть представлена в виде С ~ ехр В (см. [22]).

Определим матрицу Ляпунова формулой (t) =

= Ф {t, 0) тогда Ф {t, 0) = (t) е, Ф (О, Q =

= ф- (0. 0) = e- L (to) и, наконец, Ф {t, t) = = Ф {t, 0)Ф (О, о) = (О et*- >i (о)- Это я есть декомпозиция переходной матрицы, требуемая теоремой Еругина.

Заметим, что матрица (t) = Ф (t, 0) е~ является периодической. Действительно,

L-1 {t+ Т) = Ф{1+ Т, 0) ехр [~ В {t + Т)] =

= Ф (; -Ь Г, Т)Ф (Т, 0) ехр (- ВТ) ехр (-Bt) = Ф (; + Г, Т) ехр (- ВТ) =

= Ф (t, 0) ехр (- Bt) = L- (t).

Переход от 1-й строки ко 2-й следует из формулы Ф (t, to) = = Ф (t, а) Ф (а, to). 3-я строка следует из 2-й по определению матрицы Ф. 4-я получается с использованием факта периодичности переходной матрицы Ф (t Т, tQ -г Т) = Ф (г, tf). Проделанные вычисления приводят к следующему результату.

Теорема 2, (Ляпунова - Флоке). Линейная система (ЛПО) с непрерывной периодической матрицей А (t т ) = А (t) приводима. Соответствующая матрица Ляпунова L является периодической L {t) L{t-\- T).Q



Пример 2. Рассмотрим липейиую периодическую систему

- 1 01

suxt 1

x{t)

х(().

Легко видеть, что векторы Xj (t) = [е, -cos t],

Ха (О = [О, е1 являются линейно независимыми решениями и, следовательно, матрица

Г г

Х(0 =

- е cos i е

- фундаментальная матрица. Вычислим переходную матрицу системы

(cos to - COS /) е

Постоянная матрица В в условиях теоремы Еругина определится равенством

(t) и L (t) - периодические функции. Декомпозиция переходной матрицы, о которой говорит теорема Еругина, имеет вид

, откуда В

cos to - 1

1 п-

i 01

1 - cos t 1

cos *o - 1 1

Ф(t,to) =

1 0

e-f 0

1 - cos f 1

1 - cos io

Периодические решения однородной системы. Хотя переходная матрица системы (ЛПО) является периодической Ф (t Ту (о + Г) = Ф (t, (f,), отсюда не следует, что Ф (£ -Ь Т, try) ~ Ф (t, io), и, значит, решение х {t) = = Ф {t, to) X (to) будет периодическим только в специальных случаях. Соответствующие условия дает

Теорема 3. Для того чтобы решение системы (ЛПО) было периодическим с периодом Т, необходимо и достаточно, чтобы вектор начальных условий принадлежал ядру преобразования [е - Ф (Iq -г- Т, to)]. Здесь Е - единичная матрица.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [ 41 ] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139