Главная
>
Управление конечномерными объектами Необходимость. Пусть рассматриваемая система приводима и существует матрица Ляпунова L (t) такая, что уравнение системы относительно новой неременной Z {t) (t) X (t) имеет вид z (t) = Bz (t). Переходная матрица этого уравнения ехр [В (t - t)], и значит, X (t) = L{t)x {t) = L{t) еС-М z {Q = Достаточность. Пусть переходная матрица системы .v (t) Л (t) X (t) представима в виде, указанном в условии теоремы. Непосредственной проверкой убедимся, что преобразование координат z (t) = (t) x [t), где L- (t) = ee-f L- Ф {t, t), приводит к стационарной системе. Действительно, Z (t) = [L- (t) L (t) 4- L- (t) A {t)L (Olz (0 -= {{BL- (0 - L- {t)A it)] L (t) -f- L~ {t)A {t)L{t)}z{t) = Bz (/). Первую строку мы записали на основании результата Рис. 11.1. теоремы 2 § 10. Вторая получена после вычисления производной (t). При этом мы воспользовались формулами d Теорема Еругина иллюстрируется коммутативной диаграммой, представленной на рис. 11.1. Пример 1. Пусть X {t) = е Ве- х (t). Рассмотрим замену z {t) = е-* х (t) Р {t) х (t). Тогда преоб- 5 Ю Н Андреев 130 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. И разованная матрица системы Л согласно теореме 3 § 10 примет вид А = РАР~ + РР- = e-eSe-e - Ае-Ч = В - Л. Значит, i (О = (В ~ A)z{t) и z (t) =- gCB-AXf- (). Отсюда сразу получим искомую декомпозицию переходной матрицы, о которой говорится в теореме Еругина: x{t) = P{t)x{t) = ee(S-A)((-Wz(io) eAig(B-A)<(-We-A(x(;p). Теорема Ляпунова - Флоке. Вернемся к периодической однородной системе (ЛПО). Приводимость такой системы следует из доказанной теоремы. Достаточно определить постоянную матрицу В формулой Ф (Г, 0) = = ехр (ВТ). Такая матрица В всегда существует, так как переходная матрица Ф (Г, 0) - неособенная, а любая неособенная матрица С может быть представлена в виде С ~ ехр В (см. [22]). Определим матрицу Ляпунова формулой (t) = = Ф {t, 0) тогда Ф {t, 0) = (t) е, Ф (О, Q = = ф- (0. 0) = e- L (to) и, наконец, Ф {t, t) = = Ф {t, 0)Ф (О, о) = (О et*- >i (о)- Это я есть декомпозиция переходной матрицы, требуемая теоремой Еругина. Заметим, что матрица (t) = Ф (t, 0) е~ является периодической. Действительно, L-1 {t+ Т) = Ф{1+ Т, 0) ехр [~ В {t + Т)] = = Ф (; -Ь Г, Т)Ф (Т, 0) ехр (- ВТ) ехр (-Bt) = Ф (; + Г, Т) ехр (- ВТ) = = Ф (t, 0) ехр (- Bt) = L- (t). Переход от 1-й строки ко 2-й следует из формулы Ф (t, to) = = Ф (t, а) Ф (а, to). 3-я строка следует из 2-й по определению матрицы Ф. 4-я получается с использованием факта периодичности переходной матрицы Ф (t Т, tQ -г Т) = Ф (г, tf). Проделанные вычисления приводят к следующему результату. Теорема 2, (Ляпунова - Флоке). Линейная система (ЛПО) с непрерывной периодической матрицей А (t т ) = А (t) приводима. Соответствующая матрица Ляпунова L является периодической L {t) L{t-\- T).Q Пример 2. Рассмотрим липейиую периодическую систему - 1 01 suxt 1 x{t) х((). Легко видеть, что векторы Xj (t) = [е, -cos t], Ха (О = [О, е1 являются линейно независимыми решениями и, следовательно, матрица Г г Х(0 = - е cos i е - фундаментальная матрица. Вычислим переходную матрицу системы (cos to - COS /) е Постоянная матрица В в условиях теоремы Еругина определится равенством (t) и L (t) - периодические функции. Декомпозиция переходной матрицы, о которой говорит теорема Еругина, имеет вид
Ф(t,to) =
Периодические решения однородной системы. Хотя переходная матрица системы (ЛПО) является периодической Ф (t Ту (о + Г) = Ф (t, (f,), отсюда не следует, что Ф (£ -Ь Т, try) ~ Ф (t, io), и, значит, решение х {t) = = Ф {t, to) X (to) будет периодическим только в специальных случаях. Соответствующие условия дает Теорема 3. Для того чтобы решение системы (ЛПО) было периодическим с периодом Т, необходимо и достаточно, чтобы вектор начальных условий принадлежал ядру преобразования [е - Ф (Iq -г- Т, to)]. Здесь Е - единичная матрица.
|