Доказательство. Если существует периодическое решение, то оно удовлетворяет условию

x ((о + Г) = X (to) = ф (0 + g X (to),

которое выполняется при любом (ц. Это условие можно переписать так:

- Ф ((о + Г, Q] Хо = 0.

Обратно, если х лежит в ядре указанного в условии теоремы преобразования, то, выбирая этот вектор в качестве начального условия, получим периодическое решение. О

Следствие 1. Если ране [Е - Ф (о + t)] = ~ п, то система (ЛПО) имеет только тривиальное периодическое решение к (t) = 0, так как в этом случае ядро преобразования состоит только иг пулевого вектора.

Следствие 2. Для того чтобы сопряженная система р (t) = - А (t) р (t) имела периодическое решение периода Т, необходимо и достаточно, чтобы вектор начальных условий р (tf)) лежал в ядре преобразования [Е -

-ф {to -ь Г, д].о

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3. Пример 3. Рассмотрим переходную матрицу линейного осциллятора £ {t) + а; (() = 0:

Ф / / = Г - si -{f-f-o) [ sin(i-to) cos(i-io).

Оператор [E ~ Ф {to + 2я, t)] является нулевым, и следовательно, ядру этого оператора принадлежат все ненулевые векторы начальных условий. Система при любых начальных условиях имеет решение периода 2я.

Пример 4. Рассмотрим переходную матрицу периодической системы примера 2. Нетрудно видеть, что ранг линейного преобразования [Е -- Ф {t + 2л, to)] равен 2, и следовательно, система имеет только тривиальное периодическое решение. ©

Периодические решения неоднородной системы. Будем рассматривать системы вида

х(;) A{t)x (О + f it), а (; -f Г) = Л (О, Е -f Г) = i (О- (ЛПН)

Как и в случае однородною уравнения, из периодичности функций А (t), f (t) не следует периодичность решения. Его может ие существовать даже при А (t) ~ 0. Например, уравнение ± {t) = i -\- sin t, х (0) = О имеет решение

X (t) = 1 t - cos t ф X (t 2л).

Займемся сначала вопросом существования периодических решений (ЛПН). Основные результаты содержит Теорема 4. Пусть Ф {t, to) - переходная матрица, соответстеуюиая матрице А {t). Решение уравнения (ЛПН) тогда и только тогда можно представить в виде

х(() -Хп(0+Ф(, 0)[Xo~Xi],

где Хп [t) имеет период Т, а - постоянный вектор, когда.

5 p(6)f(6)d50 (1)

для каждого п-вектора р (о), который имеет период Т и является решением сопряженного уравнения

p{t) = - А (t)p{t).

Доказательство. Равенство (1) называется условием ортогональности.

Прежде чем доказать теорему, напомним известный факт линейной алгебры. Линейное уравнение Ах ~ Ь, где А квадратная матрица порядка п., имеет решение тогда и только тогда, когда всякое решение сопряженного однородного уравнения Ах = О ортогонально вектору b (см. § 8, теорема 2).

Решение уравнения (ЛПН) дает формула Коши, которую можно записать в виде

х(;) = Ф(го)[хо + JO((o.3)f (б)Йб .

Если существует периодическое решение, то выполнено условие X (О = X ( Г Т) при любых ( д, и в частности, при ; = X ((о) для этого решения обозначим через Xj. Тогда из формулы Коши следует, что Xj уцовлетворяет

уравнению

Умно;кая это равенство слева на матрицу

Ф f + Г) = Ф-1 [to -ь Т, t,), получим эквивалентное уравнение

\Ф{ио + Т)-Е]хг I 0(0, б)! (а) da.

Вектор справа в этом уравнении обозначим через q. Согласно приведенной нами теореме линейной алгебры это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда вектор q ортогонален всем решениям однородной системы

[Ф (0, 0 + Л - -iPo = О-

Но решениям этого уравнения соответствуют согласно следствию 2 теоремы 3 периодические решения сопряженной системы. Другими словами, если рд является решением этого уравнения, то р (о) = Ф {t, о) р имеет период Т. Таким образом, необходимым и достаточным условием существования частного периодического решения уравнения (ЛПН) является условие

piq = pi S Ф (0.3) t (б) do = о,

которое содпадает с условием ортогональности (1), так

как , ,

РФ (0, о) = Р (о).

Таким образом, доказано, что условие ортогональности необходимо и достаточно для того, чтобы существовал вектор Xi такой, что решение, проходящее через х в мо-мет to, было бы периодическим.

Если такое х существует, то обозначим соответствующее периодическое решение через Хц [t). Тогда

Хп {t) = Ф {t, to) хг -Ь J Ф {t, б) t (б) do.