хг[Ф(1о,и+Т)-~ЕГ f Ф(to,a)i(в)d6.

Доказательство. Согласно следствию 1 теоремы 3 однородное уравнение имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы [Ф {to, to-{- Т) - - £1 равен п. В этом случае существует обратная матрица [Ф (0, ((, + Г) - £1 , и уравнение

[ФitQ,tn-hT)-E]Xx= I Ф {to, б) f (о) do

Воспользовавшись этим равенством, формулу Коши для решения, проходящего в момент через Хц, моншо записать в виде

x (t) + Ф{t,t,)[x,-Xl\.

Значит, если выполняется условие ортогональности, то рещение представимо в виде, требуемом условием теоремы. Верно и обратное. Пусть решепие можно записать в виде суммы частного периодического решения и решения однородного уравнения. Тогда существует вектор Xft, именно Х0 = Xj, такой, что общее решение является периодическим, и значит, выполняется условие ортогональности. О

Имеется ряд специальных случаев, в которых данная теорема пмеет более простой вид и ее результаты легче интерпретировать. Приведем два таких результата, которые сформулируем в виде следствий.

Следствие 1. Если однородное уравнение имеет только тривиальное периодическое региение, то решение (ЛПН), которое проходит через х при t ~ t, может быть единственным образом представлено в виде

X (О = Хп it) Ф (;, (о) [хо - xil,

где Хд {t) периодично и дается формулой

Хп it) - Ф {t, to) Xi -f j Ф 3) f (6) dc,

имеет единственное решение

to+T

Отсюда сразу получаем требуемое утверждение. 0

Следствие 2. Если А - постоянная матрица и у нее нет чисто мнимых собственных чисел, то региепие (ЛПН), которое проходит через при t - О, можно выразить единственным образом в виде

x{t) Хп(() -ехр(ЛО[Хо -Хп(0)1,

(t) = e-xi + е(->! (б) do, о

- li,-At

Xi fe

Доказательство в точности совпадает с доказательством следствия 1, если заметить, что в случае, когда А не имеет чисто мнимых корней, оператор [е- - Е] имеет полный ранг. О

Пример 5. Рассмотрим гармонический осциллятор с периодической возмущающей силой

In (OJ

~ -1 oJL

:xi (t)

о ./ (0.

/(г + 2я) = /(0.

Какие дополнительные ограничения нужно наложить на / (t), чтобы существовало периодическое решение?

Так как данная система является самосопряженной, имеем

р1 (*Г

Условие ортогональности принимает вид

С Г COS б sin а

J sin 3 COSG

Отсюда следует, что периодическое решение будет в том случае, когда ряд Фурье функции / не имеет первой гармоники.

Задачи. 1. Покажите, что если L (t) - матрица Ляпунова, то Z,- (t) - тоже матрица Ляиунова.

2. Если Z,j (t) и Ls {t) - матрицы Ляпунова, то L (t) - Li(t)- Z/g (t) - тоше матрица Ляпунова.

3. Покажите, что z = ех - преобра.эование Ляпунова, еглп А = ~А.

4. Вычислите переходную матрицу Ф ((, i) Для системы

х(0 =

- I + cos i О

О - 2 -f- соэ f

Так как система пмсст период 2п;, то Ф {t, h) можно записать в виде Ф (t, to) = L-Ht) L (/ }.

Проведите эти вычисления.

5. Найдите преобразование Ляпунова, приводящее скалярное уравнение

£ (t) X (t) sin t

к стационарному ииду.

6. Рассмотрите уравнение х (t) = Ах (t) -{- Ь при b=const. При каких условиях существует постоянвое решение при подходящих Хд?

7. Выпишите декомпозицию Ляпунова для переходной матрицы линейного осциллятора.

8. Определите, имеет ли каждая из следующих систем периоди-тескоо решение периода 2л, и если да, то единственны лн они?

siu (,

соч i, sin t -j-

cos t.

а это в свою очередь требует, чтобы

f (а) COS б do = /(б) sin б dcj = 0.