9. Выпишите решение системы

проходяп1,ее при f - О через точку [1,1] - о, п виде, требуемом теоремой 4. Каким начальным условиям при t - О удовлетворяет частное периодическое penienHO?

10. Каким необходимым и достаточным углоьиям должна удо1ь лечиорять матрица А, чтобы ехр (At) была бы периодически!!?

И. Найдите любое решение уравневми 6-ехр Я .тля CJeдyl(i-щггх матриц С:

1 о

COS i sin t - sin i cos t ch ( sh f bh( cht

12. Покажите, что общее решение уравнении

i (t) + 11 (О *(i)-r ? (0 {) = <J.

можно -заиисагь в виде

x(0 = api (О- + Рз ()е*

где 2 - деистиптельныс, а (г) и р2 (i) имеют период Т. пяп в виде

где Я - действительное, а {t) и pg (i) имеют период ?.

13. Покажите, что уравнение х (t) х (t) -- {) = sin nt-1:

а) не имеет периодических решений при п - 1;

б) имеет единственное периодическое решение периода 2п/п для = 2. 3, . . .;

в} имеет два параметрических семейства периодических реше-111

НИИ ДЛЯ п----, , ,

i о 4

14. Для систош X {() = Лх (t) -f- b sign (sin t) проведите декомпозицию в соответствии с теоремой Ьругина при соответствующих предположениях относительно матрицы А.

15. Пусть A{t) имеет период Ti, f (i) - период Т. Покажите, что если все решения х (t) = А (t) х {t) стремятся к нулю при t

сс. то существует вектор g периода Уз и матрица Р (t) периода Tj такие, что общее решение уравнения х (t) ~ А (t) х (t) -]- f (t) имеет вид

16. Общее рещение уравнения х (f) ~ Ах {() -f- f ((), где Л - = const, 1 (1) t (г2я), имеет вид

eh {t - fu) sh (t - t )

x(t)= + . - . .

[coit lsh{t - U) ch(i -

Найдите матрицу 4 и функцию f (t), если известно, что f (fo) = q

§ 12. Линейные матричные уравнения

В § 10 уже встречались матричные дифференциальные уравнения. Например, переходная матрица была определена как решение матричного дифференциального уравнения

Ф {t, Q =Л{1}Ф {t, t,), Ф (i , Q = Е.

В данном разделе рассмотрим решения линейных матричных дифференциальных уравнений вида

X{t) Al (t) X (О + X (О Л2 (0> F {t) (ЛМ)

и обсудим некоторые вопросы, связанные с приложениями таких уравнений.

Матричная формула вариации постоянных. Сначала заметим, что уравнение (ЛМ) можно записать в виде системы линейных дифференциальных уравнений. Если все матрицы в (ЛМ) имеют размерность п х п, то размерность вектора решений будет п. Ясно, что все предыдущие результаты, полученные для линейных дифференциальных уравнений вида х (t) = А (t) х (t) -Ь i (/), будут справедливы н для уравнения (ЛМ), записанного в векторной форме. Поэтому, в частности, нет нужды доказывать теоремы о существовании и единственности решения уравнения (ЛМ). Однако, поскольку в приложениях часто приходится иметь дело с уравнениями, записанными в виде (ЛМ), а эквивалентное векторное уравнение имеет матрицу размером {п х п), для дальнейшего будет удобнее не приводить матричное дифференциальное уравнение к обычной векторной записи, а получить решение в матричной форме.

Теорема 1 (матричная формула вариации постоянных). Если Ф1 [t, to) - переходная матрица для уравнения X {t) = Al {t) X (if), a Фа {t, t) - переходная матрица

для уравнения х (t) = Ач (t) х (t), то решение уравнения (ЛМ) с начальным условием X (to) дается формулой

X(О - Фх(t, to) X{to)Ф1 {i, to) Фг{t,6)F(6)Ф;{t, б) do.

Доказательство. Дифференцируя это выражение по ; и используя равенства Фх {t, to) - Ai{t)-

Ф ( о) и Фз (t, to) = л; (t) Фз {t, to), получим X{t) Ai{t)Ф1 {t, to)X{to)Ф{t, to) +

4- Ai {i) \фг{1,0) F (6) Ф;( 6) do + Ф,{ to)X{to)Ф2{t,to)Aг{t) +

-Ь j Ф1 {t, 0) F {0) Ф; {t, 0) л (0 do + F {t).

Поэтому X {t) удовлетворяет дифференциальному уравнению (ЛМ). Легко проверить, что начальные условия тоже выполняются. О

Сопряженное уравнение. Множество квадратных матриц порядка п, как было показано в § 6, образует векторное пространство R *. Вводя в этом пространстве скалярное произведение по формуле

п п

<ХУ> = 22 аУа = tT(rX) = bv{XY),

i=i }=1

получают евклидово пространство, обозначаемое через E X7 XI0 аналогии с векторным линейным уравнением назовем сопряженным такое матричное дифференциальное уравнение, решение которого Р {t) при любом t удовлетворяет условию

<Х {t), Р {t)} = tr {X {t) Р (0) = const,

где X {t) - решение однородного уравнения

X{t) =A,{t)X{t)X{t)AAt). Пользуясь этим определением, имеем

О = -- tr {X (t) Р {t)) = tr {X {t) P {t) + X {t) P (0) =

= tr (X (0 Л {t) p {t) + 4 (0 X {t) P {t) -f X {t) p (0).