Посяеднее равенство справедливо в силу уравнения X (О X (О А\ [t) + л; {t) X {t).

Вспоминая теперь, что tr {ЛВ) = tr {ВА) и tr (Л + S) = tr Л + ir В, мы видим, что

О - tr {X {t) {Р {t) + л; {t) P{t) + р (О л2 (01).

Поскольку это условие должно выполняться при любых X {t), Р [t). HVfeeM уравнение для Р {t):

P{t) - А[ it) P{t)-P it) Аг {t), (МС)

называемое сопряженным уравнением. Сформулируем результат проделанных вычислений.

Теорема 2. Если определить скалярное произведение матриц X (t) и Р {t) е виде (,Х {t), Р {t)} = - tr (Р (t) X {t)), то уравнение (МС) будет сопряженным для однородного матричного уравнения

X it) - Al {t) X{t) + X {t) A (t). О

Как будет ясно из дальнейшего, уравнения вида (МС) играют важную роль в теории управления линейными системами. Здесь рассмотрим одно из приложений этого уравнения.

Оценка квадратичного функционала. Пусть для какого-либо решения х {t) системы х {t) ~ Л {t) х {t) требуется оценить величину интеграла

/ Jx (О W {t)x{t)dt, h

где W {t) - некоторая матрица п X п, составленная из непрерывных при функций времени. Выразим величину / через начальные условия х (i ). Поскольку в силу уравнения движения х {t) = Ф {t, to) х (to), имеем

/ = \ x{to) Ф {t, to) W it) Ф {t, to) X{to) dt x{to) V {to, tt)x{to).

V{t,t,)-\ф{o,t)W{o)Ф{o,t)dc

-А{t) V {t, t,) V {t, t,) A{t)-W(0-

Из определения V {t, ti) следует, что V {ti, tj) -- 0. Добавляя эти граничные условия к дифференциальному уравнению, по.1гучим прямой способ вычисления /. Заметим, что это -- дифференциальное уравнение с граничным условием, заданным яе в начальный момент времени tff, а в момент окончания переходного процесса. Таким образом, справедлива

Теорема 3. Если V {t, li) яв шется решрпием уравнения

V {t, tx) = -А [t) V {t, tx) - V {t, tx) A{t)-W (0,

a X (f) - решение системы x {€) - A it) x {t) при *й t < tx-, mo справедлива формула и

] x it) W it) X (t) dt - x (to) V (t tx) X (ffl).O

Обратите впимапне, что дифференциальное уравнение для V (t, ti) совпадает с уравнением (МС) при W [t) = О,

Л, - Ах\

Здесь использовано обозначение

V (0, i) = j Ф к) W (О Ф [t, to) dt. I*

Таким образом, искомая величина / является квадратичной формой от X (to), а V {t(f, ti) -- матрица этой квадратичной формы. Если известна переходная матрица Ф [t, (q), to постоянную матрицз V (to, t) можно вычислить, воспользовавшись последней формулой. Есть, однако, и другой способ выч:псления V [to, tj). Можно свести эту задачу к задаче интегрирования линейного матричного уравнения, Залтеняя t иа t и дифференцируя выражение для V {t, t-i) но t, получим

Случай постоянных матриц Л и W наиболее важен на практике. При этом дифференциальное уравнение для V [t, становится стационарным:

V{t, h) =- - AV{t, h) - V {t, A - W,

и его решение можно представить в явном виде в тех случаях, когда существует решение матричного линейного уравнения

AV -\~ VA -\- W = 0. (2)

Дейс1вителъпо, обозначим решение этою уравнения через Fl и введем в {!) замену переменной Т = F - Fj. Легко проверить, что уравнение для W будет иметь вид

Т h) = - АЧ!- (f, t{) - Г {t, 1г) Л, F (х, h) - Vi-

Воспользовавшись формулой теоремы 1. немедленно получаем явное выражение для матрицы V [f, ti). Именно,

V {t, ti) = Fl - exp 14 (/i- t}]V, exp [4 {t, - t)l

Из этой формулы, в частности, следует, что если ехр \А (1 - )1- -0при1оо, то оценка интеграла / на полубесконечном интервале (io, оо) сводится к решению линейного матричного алгебраического уравнения AV -\~ -\- УА Г И П относительно матрицы V и подсчету величины / по формуле - х (io) Vx (i ).

Замечание. Рассмотрим теперь задачу оценки Интеграла

Г \ i{t)W{t)i{i)dt, h

где р {t) - решение сопряженного уравнения

р(0 =- - Л (Ор(0, Р(0) - Ро-

Воспользовавшись тем, что р (t) = Ф {t, 1) pg, запишем интеграл в виде

J - PoV {к, h) Ро = j р;Ф (io, t) W it) Ф (io, i) po di.