Заменяя на t и дифференцируя матрицу V [t, /j), получим, как и ранее, дифференциальное уравнение

f (t, t,) - А it) V {и к) + V {и h) А ~ \\ (О,

У {к, к) = 0. (3)

Обратите внимание, что это уравнение при W [t) = О является сопряженным уравнением для уравнения теоремы 3. Опо будет играть в дальнейшем важную роль. Особый интерес будут для нас представлять случаи, когда уравнения (1) и (3) имеют положительно определенное решение.

Матричное уравнение AV + VA = - W. Основные свойства этого уравнения впервые былиизучепн А. М. Ляпуновым в связи с исследованием устойчивости движений динамических систем. Подробная теория подобных уравнений приведена в книге Ф. Р. Гантмахера Теория мат рцц . Для наших целей будет достаточно следуюш,его простого результата.

Теорема 4. Для того чтобы матричное уравнение

АХ -h ХЛ = - W (4)

имело единственное решение при любой вещественной ма/ч-рице необходимо и достаточно, чтобы собственные числа Kl [i = i, 2, . . п) матрицы А удовлетворяли неравенствам Я; Н- О при всех 1 i, /

Доказательство. Согласно теореме 27 для всякой матрицы А существует неособенная матрица У, вообще говоря, комплексная, такая, что матрица ТА - --= В и\<еет треугольную форму (все э.тгементы матрицы В. расположенные под главной диагональю, равны нулю, а на главной диагонали стоят собственные значения матрицы ,4).

Умиоигим данное матричное уравнение слева на 7 и справа на Т и проведем несложные преобразования;

Т {АХ Ч- ХА) Г - ТАХГ -f ТХЛТ =

{ТАТ-)(ТХГ) + ТХТТАГ = - TWT.

Замечая, что (Г 1) (Г !), (ТЛГ) - (Г.47-1) = = В\ и вводя обозначение Z ~ ТХТ\ придем к уравце-

5 + ZB -- - Twr,

где в - треугольная матрица. Эго уравнение, очевидно, эквивалентно исходному. Рассматривая это уравнение как систему линейных уравнений и выписывая X п-матряцу этой системы {оставляем читателю эти вычисления в качестве простого упражнения на закрепление правила умножения матриц), замечаем, что эта матрица - треугольная и на ее диагонали стоят числа + Xj), i / Следовательно, определитель этой матрицы, равный произведению диагональных элементов, обращается в нуль тогда и только тогда, когда выполнено равенство Xi -г Xj = О при каких-либо, может быть и равных, значениях 1 г, / п. Q

Замечание 1. Требования, предъявляемые теоремой к собственным числам матрицы А, легко интерпретировать геометрически. Ее собственные значения не долнчны располагаться на комплексной плоскости симметрично относительно начала координат и не должны быть равны нулю. Поэтому если, например, все собственные числа располагаются строго слева от мнимой оси - в этом случае матрица А называется устойчивой, матрицей,- то уравнение AV 4 У А = - W имеет единственное решение.

Замечание 2. Если матрица W - симметрическая {W - W), то решение V уравнения AV 4- УА -- 1у тоже будет симметрической матрицей, поскольку в этом случае

{AV -h VAY = ТА + АУ = АУ + УА = W и уравнение для У совпадает с исходным уравнением. О

Если матрица А устойчива, то единственное, в силу замечания 1, решение уравнения ЛУ УА W - О удовлетворяет равенству теоремы 3

х(0)Гх(0) \x{t) Wx{t)dt, о

в котором интеграл справа - сходящийся (почему?). Вспоминая теперь, что в стационарном случае х (t) = = е* X (0) и [е] = е, имеем

х (0) Ух (0) = х (0) (J eWedt] х (0). Отсюда сразу следует

Теорема 5, Если матрица Л устойчиво, то единственное решение уравнения AV -\- VA -W можно представить в виде сходящегося интеграла

V etWeidt.O о

Пример. Оценим величину интеграла J ~

\ (i? (О + 2 {t))dt для уравнения х (t) =- Ах (t), где

О 1

- 2 -3

Собственные числа матрицы А отрицательны. Матрица W, соответствующая данному интегралу, совнадаег с единичной матрицей. Поэтому уравнение для V имеет следующий Вид:

И viil ГО - 2 vn ггг 1 - 3

О 1

- 2 - 3

Поскольку W - W, имеем и2 = = - 1

fl О

[о 1.

- 0.

[1,21

1 -1

- 1,

Обсуждение. Дифференциальные матричные уравнения (1), (3) н алгебраическое матричное уравнение Ляпунова (4) играют важнейшую роль в дальнейшем. Напомним, как они были получены в этом разделе. Рассматривалась задача о вычислении значения функционала

/ = J x{t)W {t)x{t) dt

вдоль решения уравнения x (t) = A {t) x [t). Оказалось, что величина / может быть выражена через начальные условия X [to) н некоторую матрицу V {t, t-i) в виде квадратичной формы J ~ х [to) V {to, fl) X {to)-, причем мат