Главная >  Управление конечномерными объектами 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139

I 121 JtWHEftHblE М\ТР\1ЧРЫЕ УРЛВНЕНПЛ l/,7

рица V (to, tj) является решением матричного дифференциального уравнения (1) (теорема 3). Если заменить в интеграле 0 на t, то в силу теоремы 3 или непосредственным вычислением устанавливаем, что

±{x{t)V{t,h)x{t))~W{t),

Полная нроизводная по времени от рассматриваемого функционала равна -W [t). Если интервал времени, в котором рассматривается движение системы, является нолубесконечным {д, оо) и если матрица Л удовлетворяет условию ехр А [t - to) -> О прн i -> оо, то решение названной задачи сводится к решению линейного матричного алгебраического уравнения (2). Нетрудно впдеть, что если матрица W {t) строго положнтельпо определепа прн всех to например W {t) = Е, то J характеризует величину среднеквадратичного отклонения траектории движения от нуля, так как в этом случае

Тогда на любом конечном интервале Uq, ij решение дифференциального уравнения (1) для V {to, ti) существует и является положительно определенной функцией, строго монотонно убывающей по времени. Если же матрица W {t) не является положительно онределенной, а, например, неотрицательно онределена, то соответствующая матрица V {to, ti) будет иметь полный ранг только в специальных случаях. Здесь нужны специальные требования к паре матриц [А {t), W (t)]. Исследования этих задач составляют основное содержание следующих трех глав. Если уравнения (1), (3) рассматриваются на полубесконечном интервале времени {to, оо), а это - важнейший практически интересный случай, то они вообще могут не иметь ограниченного решения. Случаи, когда эти уравнения имеют положительно определенные ограниченные решения, будут подробно исследованы в дальнейшем.

Задачи. 1. Вычислите значение интеграла в приведенном примере, проинтегрировав уравнения движения. Сравните оба способа. Какой из вих выгоднее при более высоком порядке матрицы А?



448 Линейные дифференциальные уравнения [гл. ii

2. Выпишите векторное ураввение, эквивалентное уравнению

tit) = A (t)X (0+ X т (0+ Fit) в случае, когда А, F имеют размер 2X2.

3. Для системы х (t) = Ах it), где

вычислите матрицы А, Az эквивалентного матричного уравнения (t) - АХ it) + X (Оа* где X (() имесТ размер 2X2. 4. Для стационарного матричного уравнения Jt (() - Л Х (i), где матрица Л устойчива, покажите, что если W = W - постоянная матрица, то

Jtr (X(t)WX{t)) dt tr (X(0)VX(0)), 0

где V - постоянная матрица. Найти уравнение для V.

Ъ. Пусть А и В - квадратные матрицы. Покажите, что матричное уравнение Л V-f VB = W относительно неизвестной матрицы V имеет решение тогда и только тогда, когда tr iPW) = О для любой Р, удовлетворяюш,ен уравнению АР -\- РВ ~ Q. (Указа-н и е. Рассмотрите соответствуюш,пй линейный оператор в пространстве Е .)

6. Имеет ли уравненгте AV-- VA = -W единственное решение, если

,4 =

7. Существует ли решение уравнения VA ~ W, где W - ненулевая вещественная матрица, если А - матрица систелпл

8. Рассмотрите систему х (t) 2d£ (t) -i- х Ц) О при t О, d > 0. э; (0) > О, x (0) > 0. Покажите, что величина

J\ [xЦt)-{iHt)]dt

досгнгаег мивлщма нр

n = ]/i

где 5.

23 - -м- (QJ

9. В условиях задачи 7 вычислите величину J, если х (0) - 1 x{0) = Q,5, d-.



10. Вычислите значение а, при котором функционал / -

= [х (t) ~\- (t)]dt достигает минимума на решениях урзвнення о

(О + 2 (0 + Г С) + 4 =

x (0) о, * (0) = а, з:(0) = 1.

11. Для услоиий задачи 10 найдите точку ж (0), (0), х (0), лежаа1,ую в плоскости х (0) + .f (0) + (0) = 1, для которой / = = min.

§ 13. Численное решение стационарных уравнений

В этом параграфе рассмотрен один эффективный алгоритм вычисления матричной экснопенты. Несмотря на то, что ряд для функции е сходится абсолютно и равномерно при любых t, численное определение значений этой функции не просто. Особые трудности возникают при большой размерности матрицы А, при наличии у А положительных или значительно отличающихся по модулю собственных значений. Поэтому алгоритмы вычисления матричной зкспонепты с помощью ЦВМ важны для приложений. Мы не станем перечислять различные методы решения этой задачи и откажемся от подробного обсуждения этого вопроса. Остановимся лишь на одном из возможных методов.

Скалярное уравненне. Начнем с геометрической интерпретации метода в скалярном случае. Рассмотрим уравненне

А [t) = Ах {t),

где Л <С О, Будем считать, что начальное условие задано при t - 0. Поскольку система - стационарная, это не мешает общности рассуждений.

Вычислим решение в точке t = h по заданному значению в нулевой момент времени х (0), Простейший способ заключается в суммировании ряда для экспоненты

X {h) = (0) + (0) 4- X (0) -Ь . . . (*)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139