Главная
>
Управление конечномерными объектами I 121 JtWHEftHblE М\ТР\1ЧРЫЕ УРЛВНЕНПЛ l/,7 рица V (to, tj) является решением матричного дифференциального уравнения (1) (теорема 3). Если заменить в интеграле 0 на t, то в силу теоремы 3 или непосредственным вычислением устанавливаем, что ±{x{t)V{t,h)x{t))~W{t), Полная нроизводная по времени от рассматриваемого функционала равна -W [t). Если интервал времени, в котором рассматривается движение системы, является нолубесконечным {д, оо) и если матрица Л удовлетворяет условию ехр А [t - to) -> О прн i -> оо, то решение названной задачи сводится к решению линейного матричного алгебраического уравнения (2). Нетрудно впдеть, что если матрица W {t) строго положнтельпо определепа прн всех to например W {t) = Е, то J характеризует величину среднеквадратичного отклонения траектории движения от нуля, так как в этом случае Тогда на любом конечном интервале Uq, ij решение дифференциального уравнения (1) для V {to, ti) существует и является положительно определенной функцией, строго монотонно убывающей по времени. Если же матрица W {t) не является положительно онределенной, а, например, неотрицательно онределена, то соответствующая матрица V {to, ti) будет иметь полный ранг только в специальных случаях. Здесь нужны специальные требования к паре матриц [А {t), W (t)]. Исследования этих задач составляют основное содержание следующих трех глав. Если уравнения (1), (3) рассматриваются на полубесконечном интервале времени {to, оо), а это - важнейший практически интересный случай, то они вообще могут не иметь ограниченного решения. Случаи, когда эти уравнения имеют положительно определенные ограниченные решения, будут подробно исследованы в дальнейшем. Задачи. 1. Вычислите значение интеграла в приведенном примере, проинтегрировав уравнения движения. Сравните оба способа. Какой из вих выгоднее при более высоком порядке матрицы А? 448 Линейные дифференциальные уравнения [гл. ii 2. Выпишите векторное ураввение, эквивалентное уравнению tit) = A (t)X (0+ X т (0+ Fit) в случае, когда А, F имеют размер 2X2. 3. Для системы х (t) = Ах it), где вычислите матрицы А, Az эквивалентного матричного уравнения (t) - АХ it) + X (Оа* где X (() имесТ размер 2X2. 4. Для стационарного матричного уравнения Jt (() - Л Х (i), где матрица Л устойчива, покажите, что если W = W - постоянная матрица, то Jtr (X(t)WX{t)) dt tr (X(0)VX(0)), 0 где V - постоянная матрица. Найти уравнение для V. Ъ. Пусть А и В - квадратные матрицы. Покажите, что матричное уравнение Л V-f VB = W относительно неизвестной матрицы V имеет решение тогда и только тогда, когда tr iPW) = О для любой Р, удовлетворяюш,ен уравнению АР -\- РВ ~ Q. (Указа-н и е. Рассмотрите соответствуюш,пй линейный оператор в пространстве Е .) 6. Имеет ли уравненгте AV-- VA = -W единственное решение, если
7. Существует ли решение уравнения VA ~ W, где W - ненулевая вещественная матрица, если А - матрица систелпл 8. Рассмотрите систему х (t) 2d£ (t) -i- х Ц) О при t О, d > 0. э; (0) > О, x (0) > 0. Покажите, что величина J\ [xЦt)-{iHt)]dt досгнгаег мивлщма нр n = ]/i где 5. 23 - -м- (QJ 9. В условиях задачи 7 вычислите величину J, если х (0) - 1 x{0) = Q,5, d-. 10. Вычислите значение а, при котором функционал / - = [х (t) ~\- (t)]dt достигает минимума на решениях урзвнення о (О + 2 (0 + Г С) + 4 = x (0) о, * (0) = а, з:(0) = 1. 11. Для услоиий задачи 10 найдите точку ж (0), (0), х (0), лежаа1,ую в плоскости х (0) + .f (0) + (0) = 1, для которой / = = min. § 13. Численное решение стационарных уравнений В этом параграфе рассмотрен один эффективный алгоритм вычисления матричной экснопенты. Несмотря на то, что ряд для функции е сходится абсолютно и равномерно при любых t, численное определение значений этой функции не просто. Особые трудности возникают при большой размерности матрицы А, при наличии у А положительных или значительно отличающихся по модулю собственных значений. Поэтому алгоритмы вычисления матричной зкспонепты с помощью ЦВМ важны для приложений. Мы не станем перечислять различные методы решения этой задачи и откажемся от подробного обсуждения этого вопроса. Остановимся лишь на одном из возможных методов. Скалярное уравненне. Начнем с геометрической интерпретации метода в скалярном случае. Рассмотрим уравненне А [t) = Ах {t), где Л <С О, Будем считать, что начальное условие задано при t - 0. Поскольку система - стационарная, это не мешает общности рассуждений. Вычислим решение в точке t = h по заданному значению в нулевой момент времени х (0), Простейший способ заключается в суммировании ряда для экспоненты X {h) = (0) + (0) 4- X (0) -Ь . . . (*)
|