1Й0 ЛПНГЙНЫЕ ДИФФЕРЕЙДТТЛЛЬНЫЁ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. II

Этот ряд сходится абсолютно и равномерно (теорема 3, § 9) при любых Л, Л. При вычислении на машине необходимо ограничиться п членами этого ряда. Прн этом ошибка в определении х {h) будет иметь порядок О {h). Этот естественный путь решения задачи не является, однако, самым эффективным. Можно указать следуюш,ие недостатки этого метода: 1. Если используется конечный отрезок ряда, то вычисления пе будт устойчивыми при любых h. Для обеспечения устойчивости li должно быть достаточно малым. 2. Для получения точности О () необходимо вычислять п членов ряда. 3. Метод использует информацию только о производных в точке t = О, в то время как интуитивно понятно, что поведение функции можно предсказать более точно, если использовать данные о производпых в точке t = h.

Попытаемся улучшить этот алгоритм. Для наглядности ограничимся двумя первыми членами ряда (*) Тогда приближенное решение х [h) имеет вид

x{h) X (0) -Ь Ahx (0) = [1 -Ь Ah] х (0). (1)

Примем теперь, что начальные условия заданы в точке t = h, и вычислим решение в точке t - 0. Ряд экспоненты в этом случае имеет внд

Ah Ah

X(0) xiji)~x{Ц (Л) -f .. . (**)

Если использовать для вычисления х (h) это уравнение, ограничившись первыми двумя членами ряда, то получим

X [h) = [1 - X (0). (2)

Информацию об обоих уравнениях (*), (**) можно использовать, вычислив полусумму значений х (h), рассчитанных по формулам (1), (2). Соответствующая формула после элементарных преобразований имеет вид

x{h) [\ - АЩ-Л\ -Ь(О). (3)

Однако этот способ совместного использования уравнений (*), (**) для вычисления значения х [h) не является наиболее эффективным. Гораздо более точную аппроксимацию решения можно получить следующим образом. Вычтем из уравнения (*) уравнение (**) и определим

X (h) из полученного уравнения. Если ограничиться первыми производными, то получим формулу

г

Геометрический смысл формулы (4) состоит в том, что мы приравниваем площадь трапеции со сторонами х (0), X (0) -Ь Ahx (0) и площадь трапеции со сторонами х (h), X (k) - Ahx {h) и находим из этого условия х (h). Геометрический смысл формул (1) - (4) ясен нз рис. 13.1.

Рис. 13.1.

Сравним эти формулы с точки зрения объема вычислений: (1) - 1 сложение. 2 умножения; (2) - 1 сложение, 2 умножения, 1 деление; (3) - 2 сложения, 3 умножения, 1 деление; (4) - 2 сложения, 2 умножения, 1 деление.

Отметим, что формула (4) требует на одно умножение меньше, чем формула (3). Наконец, сравним эти формулы еще с одной точки зрения. Как они ведут себя при больших значениях к? Простое исследование показывает, что коэффициент справа, меньший по модулю, чем единица, будет получаться при любом шаге Столько в формулах (2), (4). Вычисления цо этим формулам устойчивы при

152 ЛИНШШЫР ДИФФЕХЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАБНРШШ [ГЛ И

любых значениях h, так как возникающие в процессе вычислений или в задании начальных данных ошибки будут на каждом шаге умножаться на коэффициент по модулю, меньший единицы. Для обеспечения устойчивости формул (1), (3) необходимо позаботиться о том, чтобы h было достаточно мало.

Точность аппроксимации. Сравним формулы {!) - (4) на простом примере. Пусть А = - 0,5, h i, х (0) = = 1. Табличное значение функции е = 0,606531. При использовании приближенных вычислений но формулам (1) - (4) получим

(1) X (1) = [1-0,5].1 - 0,5000,

(2) X (1)= [1 + 0,5]1-1 - 0,606{Г>),

0,25-0,5

(3) х{1) [1 + 0,5Г

(4) X (1) = [1 + 0,25

1 = 0,5833, = 0,6000.

-1 [1-0,25

Более высокая точность, полученная в случае использования формулы (4), связана с тем, что, как будет понятно в дальнейшем, формула дает значение х [h] с точностью до величины порядка О (h).

При выводе формул {!) - (4) мы ограничились нервы-ми двумя членами рядов {*), {**). Чтобы получить более точную аппроксимацию, необходимо рассмотреть большее число членов. Для пяти членов ряда полуяим следующую формулу, аналогичную формуле (4):

x{h) =

2 4 12 48

л ,hA , ЛМа } ЛМ*

{0). (5)

Эта формула по построению обеспечивает точность аппроксимации решения порядка О (h). Существует, однако, более простая формула, дающая ту же точность аппроксимации, о чем свидетельствует Теорема 1. Формула

X (h) = [\2-QhA + НЫ]- ]12 + 6Ы + кЫ] х (0) (6)

аппроксимирует решение уравнения ± = Ах в точке t = h с точностью до величины порядка О (h).

Доказательство. Рассмотрим отношение правых частей формул (5) и (6). Раскрытие скобок и при-